Giải bài tập 7 trang 78

Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Hai đường cao AM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H (Hình 30). Chứng minh: a) (widehat {MHN} + widehat {ABC} = 180^circ .) b) (widehat {AHC} = widehat {ADC.}) c) (widehat {ADC} = widehat {BAM} + 90^circ .)

Đề bài

Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Hai đường cao AM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H (Hình 30). Chứng minh:

a) $\hat{M H N} + \hat{A B C} = 180^{\circ} .$

b) $\hat{A H C} = \hat{A D C .}$

c) $\hat{A D C} = \hat{B A M} + 90^{\circ} .$

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng tổng 4 góc trong tứ giác HMBN bằng $180^{\circ}$

b) $\hat{A H C} = \hat{A D C}$ vì cùng bù với góc CBA.

c) Chứng minh $\hat{B A M} + \hat{A M B} = \hat{B A M} + 90^{\circ} = 180^{\circ} - \hat{M B A} = \hat{A D C} .$

Lời giải chi tiết

a) Do tam giác ABC có hai đường cao AM, CN nên $\hat{H M B} = 90^{\circ}, \hat{B N H} = 90^{\circ}$

Xét tứ giác HMBN có:

$\begin{array}{l} \hat{N H M} + \hat{H M B} + \hat{M B N} + \hat{B N H} = 360^{\circ} \\ \hat{N H M} + \hat{M B N} = 360^{\circ} - \hat{H M B} - \hat{B N H} \\ \hat{N H M} + \hat{M B N} = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 180^{\circ} . \end{array}$

Hay $\hat{M H N} + \hat{A B C} = 180^{\circ} .$

b) Vì ABCD nội tiếp đường tròn nên $\hat{C D A} + \hat{A B C} = 180^{\circ} .$

mà $\hat{M H N} + \hat{A B C} = 180^{\circ}$ (câu a)

suy ra $\hat{C D A} = \hat{M H N}$ , hơn nữa $\hat{C H A} = \hat{M H N}$ (đối đỉnh)

vậy $\hat{C H A} = \hat{C D A .}$

c) Xét tam giác AMB vuông tại M có: $\hat{B A M} + \hat{A M B} = \hat{B A M} + 90^{\circ} = 180^{\circ} - \hat{M B A .}$

Mà $180^{\circ} - \hat{M B A} = \hat{A D C}$ (do ABCD nội tiếp)

Vậy $\hat{A D C} = \hat{B A M} + 90^{\circ} .$