Giải bài tập 7 trang 79

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác (overrightarrow 0 ) vuông góc với cả hai vecto trong mỗi trường hợp sau: a) (overrightarrow {AC} ) và (overrightarrow {B'D'} ) b) (overrightarrow {AC'} ) và (overrightarrow {BD} )

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vecto trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{A C}$ và $\vec{B^{'} D^{'}}$ ;

b) $\vec{A C^{'}}$ và $\vec{B D}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hai vecto $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ không cùng phương. Khi đó, vecto $\vec{w} = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}; z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}; x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{A B} = (1; 1; 1), \vec{A D} = (0; - 1; 0)$ .

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} \Leftrightarrow \vec{A C} = (1; 0; 1$ ).

$\vec{B^{'} D^{'}} = \vec{B D} = (- 1; - 2; - 1)$ .

$[\vec{A C}, \vec{B^{'} D^{'}}] = (| \begin{array}{l} 0 1 \\ - 2 1 \end{array} |; | \begin{array}{l} 1 1 \\ - 1 - 1 \end{array} |; | \begin{array}{l} 1 0 \\ - 1 - 2 \end{array} |) = (2; 0; - 2)$ .

Chọn $\vec{u} = (2; 0; - 2)$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{A C}$ và $\vec{B^{'} D^{'}}$ .

b) $\vec{A C^{'}} = (3; 5; - 6)$ , $\vec{B D} = (- 1; - 2; - 1)$ .

$[\vec{A C^{'}}, \vec{B D}] = (| \begin{array}{l} 5 - 6 \\ - 2 - 1 \end{array} |; | \begin{array}{l} - 6 3 \\ - 1 - 1 \end{array} |; | \begin{array}{l} 3 5 \\ - 1 - 2 \end{array} |) = (- 17; 9; - 1)$ .

Chọn $\vec{v} = (- 17; 9; - 1)$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{A C^{'}}$ và $\vec{B D}$ .