Giải bài tập 7 trang 81

Đề bài

Cho góc nhọn $\alpha$. Biết rằng, tam giác $ABC$ vuông tại $A$ sao cho $\hat{B}=\alpha$.

a) Biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$ theo $AB,BC,CA$.

b) Chứng minh: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$; $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$; $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$; $\tan \alpha .\cot \alpha =1$.

Từ đó, tính giá trị biểu thức: $S={\sin }^2{35}^{\circ }+{\cos }^2{35}^{\circ }$; $T=\tan {61}^{\circ }.\cot {61}^{\circ }$.

Lời giải chi tiết

a) $\sin \alpha =\frac{AC}{BC}$; $\cos \alpha =\frac{AB}{BC}$; $\tan \alpha =\frac{AC}{AB}$; $\cot \alpha =\frac{AB}{AC}$.

b) Ta có:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{AC}{BC}\right)}^2+{\left(\frac{AB}{BC}\right)}^2=\frac{A{C}^2+A{B}^2}{B{C}^2}=\frac{B{C}^2}{B{C}^2}=1$.

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{AC}{BC}:\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}.\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{AB}=\tan \alpha$.

$\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{AB}{BC}:\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BC}.\frac{BC}{AC}=\frac{AB}{AC}=\cot \alpha$.

$\tan \alpha .\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.\frac{AB}{AC}=1$.

$S={\sin }^2{35}^{\circ }+{\cos }^2{35}^{\circ }=1$.

$T=\tan {61}^{\circ }.\cot {61}^{\circ }=1$.