Giải bài tập 8 trang 27

Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng (a) và chiều cao bằng (h).

Đề bài

Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $h$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chọn trục $O x$ sao cho $O$ trùng với đỉnh của khối chóp.

Dựng một mặt phẳng cắt trục $O x$ tại điểm có hoành độ $x$ . Mặt phẳng đó cắt khối chóp $O . A B C D$ với mặt cắt là hình vuông $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

Tính độ dài cạnh $A^{'} B^{'}$ , sau đó tính diện tích mặt cắt $S (x) = S_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$ , từ đó tính thể tích khối chóp tứ giác đều $O . A B C D$ theo công thức $V = \int_{0}^{h} S (x) d x$ .

Lời giải chi tiết

Xét khối chóp đều $O . A B C D$ có chiều cao $O H = h$ , độ dài cạnh đáy $A B = a$ .

Chọn trục $O x$ sao cho $O$ trùng với đỉnh của khối chóp, mặt đáy $(A B C D)$ cắt trục $O x$ tại điểm có hoành độ như hình vẽ.

Dựng một mặt phẳng cắt trục $O x$ tại điểm có hoành độ $x$ . Mặt phẳng đó cắt khối chóp $O . A B C D$ với mặt cắt là hình vuông $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

Ta có $\frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{O B^{'}}{O B} = \frac{O H^{'}}{O H} = \frac{x}{h} \Rightarrow B^{'} C^{'} = \frac{a}{h} x$ .

Diện tích mặt cắt $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là $S (x) = {(\frac{a}{h} x)}^{2} = \frac{a^{2}}{h^{2}} x^{2}$ .

Vậy thể tích khối chóp đều $O . A B C D$ là:

$V = \int_{0}^{h} (\frac{a^{2}}{h^{2}} x^{2}) d x = \frac{a^{2}}{h^{2}} {(\frac{x^{3}}{3}) |}_{0}^{h} = \frac{a^{2}}{h^{2}} . \frac{h^{3}}{3} = \frac{a^{2} h}{3}$ .