Giải bài tập 8 trang 45

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f (x) = 2 x^{3} - 6 x$ trên đoạn $[- 1; 3]$ ;

b) $f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 6}{x + 2}$ trên đoạn $[1; 5]$ ;

c) $f (x) = \frac{l n (x + 1)}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 3]$ ;

d) $f (x) = 2 \sin 3 x + 7 x + 1$ trên đoạn $[\frac{- π}{2}; \frac{π}{2}]$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n} \in [a; b]$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f (a), f (x_{1}), f (x_{2}), . . ., f (x_{n}), f (b)$ . Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $max_{[a; b]} f (x)$ , giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $min_{[a; b]} f (x)$ .

Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN, GTNN trên khoảng chứa $\pm \infty$ , ta cầm tìm $lim_{x \to \pm \infty} f (x)$ và so sánh.

Lời giải chi tiết

a) $f (x) = 2 x^{3} - 6 x$ trên đoạn $[- 1; 3]$ .

Tìm điểm cực trị: $f^{'} (x) = 0 \to 6 x^{2} - 6 = 0 \to x = - 1, x = 1$ .

So sánh giá trị hàm số tại các điểm cực trị và hai đầu mút của đoạn:

$f (- 1) = 2 (- 1)^{3} - 6 (- 1) = - 2 + 6 = 4$ ;

$f (1) = 2 (1)^{3} - 6 (1) = 2 - 6 = - 4$ ;

$f (3) = 2 (3)^{3} - 6 (3) = 54 - 18 = 36$ .

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn $[- 1; 3]$ là $- 4$ (tại $x = 1$ ), và GTLN là 36 (tại $x = 3$ ).

b) $f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 6}{x + 2}$ trên đoạn $[1; 5]$ .

$f^{'} (x) = \frac{x^{2} + 4 x}{{(x + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ . Khi đó trên đoạn [1;5] không tồn tại x để f’(x) = 0.

So sánh giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn:

$f (1) = \frac{1^{2} + 3.1 + 6}{1 + 2} = \frac{10}{3}$ ; $f (5) = \frac{5^{2} + 3.5 + 6}{5 + 2} = \frac{46}{7}$ .

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn $[1; 5]$ là $\frac{10}{3}$ (tại $x = 1$ ), và GTLN là $\frac{46}{7}$ (tại $x = 5$ ).

c) $f (x) = \frac{\ln (x + 1)}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 3]$ .

So sánh giá trị hàm số:

$f (0) = \frac{\ln (0 + 1)}{0 + 1} = 0$ ; $f (e - 1) = \frac{1}{e + 1}$ ; $f (3) = \frac{\ln (3 + 1)}{3 + 1} = \frac{\ln (2)}{2}$ .

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn $[0; 3]$ là 0 (tại $x = 0$ ), và GTLN là $\frac{\ln (2)}{2}$ (tại $x = 3$ ).

d) $f (x) = 2 \sin 3 x + 7 x + 1$ trên đoạn $[\frac{- π}{2}; \frac{π}{2}]$ .

$f^{'} (x) = 6 \cos 3 x + 7$ . Khi đó trên khoảng $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ ta có f’(x) > 0, hàm số đồng biến.

So sánh giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn:

$f (- \frac{π}{2}) = 2 \sin (3 (- \frac{π}{2})) + 7 (- \frac{π}{2}) + 1 = 3 - \frac{7 π}{2}$ ;

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (3 (\frac{π}{2})) + 7 (\frac{π}{2}) + 1 = - 1 + \frac{7 π}{2}$ .

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn $[\frac{- π}{2}; \frac{π}{2}]$ là $3 - \frac{7 π}{2}$ (tại $x = \frac{- π}{2}$ ), và GTLN là $- 1 + \frac{7 π}{2}$ (tại $x = \frac{π}{2}$ ).