Giải bài tập 8 trang 62

Cho hai mặt phẳng (({P_1}):4x - y - z + 1 = 0), (({P_2}):8x - 2y - 2x + 1 = 0) a) Chứng minh rằng (({P_1})//({P_2})) b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (({P_1}),({P_2}))

Đề bài

Cho hai mặt phẳng $(P_{1}) : 4 x - y - z + 1 = 0$ , $(P_{2}) : 8 x - 2 y - 2 x + 1 = 0$ .

a) Chứng minh rằng $(P_{1}) / / (P_{2})$ .

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P_{1}), (P_{2})$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng song song với nhau.

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P_{1}), (P_{2})$ là khoảng cách giữa 1 điểm $\in (P_{1})$ đến $(P_{2})$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{n_{1}} = (4; - 1; - 1)$ ; $\vec{n_{2}} = (8; - 2; - 2) = 2 \vec{n_{1}}$ suy ra $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ cùng phương.

Lấy điểm $A (0; 1; 0) \in (P_{1})$ , thấy $A (0; 1; 0) \notin (P_{2})$ .

Do đó: $(P_{1}) / / (P_{2})$ .

b) Với $A (0; 1; 0) \in (P_{1})$ , khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P_{1}), (P_{2})$ là khoảng cách từ A đến $(P_{2})$ .

$d (A; (P_{2})) = \frac{| - 2.1 + 1 |}{\sqrt{8^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ .

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P_{1}), (P_{2})$ là $\frac{\sqrt{2}}{12}$ .