Giải bài tập 8 trang 67

Giải thích vì sao nếu phương trình (a{x^2} + bx + c = 0left( {a ne 0} right)) có hai nghiệm ({x_1},{x_2}) thì (a{x^2} + bx + c = aleft( {x - {x_1}} right)left( {x - {x_2}} right)). Áp dụng phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ({x^2} - 2x - 3) b) (3{x^2} + 5x - 2)

Đề bài

Giải thích vì sao nếu phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thì $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Áp dụng phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{2} - 2 x - 3$

b) $3 x^{2} + 5 x - 2$

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Biến đổi vế trái để xuất hiện tổng và tích của $x_{1}, x_{2}$ .

Bước 2: Thay hệ thức Viète vào biểu thức vừa biến đổi.

Lời giải chi tiết

Do phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ nên áp dụng định lý Viète, ta có:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a}$

Ta lại có:

$\begin{array}{l} V T = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a (x^{2} - x . x_{2} - x . x_{1} + x_{1} . x_{2}) \\ = a [x^{2} - x (x_{1} + x_{2}) + x_{1} . x_{2}] \\ = a [x^{2} - x . \frac{- b}{a} + \frac{c}{a}] \\ = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) \\ = a x^{2} + b x + c \\ = V P (d p c m) \end{array}$

a) Ta có $a - b + c = 0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_{1} = - 1; x_{2} = 3$ .

Vậy $x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)$

b) Ta có: $Δ = 5^{2} - 4.3. (- 2) = 49 > 0$

Phương trình có hai nghiệm là $x_{1} = \frac{- 5 + \sqrt{49}}{2.3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ; $x_{2} = \frac{- 5 - \sqrt{49}}{2.3} = \frac{- 12}{6} = - 2$ .

Vậy $3 x^{2} + 5 x - 2 = 3. (x - \frac{1}{3}) (x + 2)$