Giải bài tập 8 trang 71

Đề bài

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(4; 6; – 5), B(5; 7; – 4), C(5; 6; – 4), D'(2; 0; 2). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(5-4;7-6;-4+5)=(1;1;1)$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành. Do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Suy ra $\{\begin{array}{c}5-x_D=1\\ 6-y_D=1\\ -4-z_D=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_D=4\\ y_D=5\\ z_D=-5\end{array}$

Vậy D(4;5;-5).

Ta có: $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=(2-4;0-5;2+5)=(-2;-5;7)$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên A’ADD’ là hình bình hành. Do đó $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

Suy ra $\{\begin{array}{c}{x}_{A^{\prime }}-4=-2\\ y_{A^{\prime }}-6=-5\\ z_{A^{\prime }}+5=7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_{A^{\prime }}=2\\ y_{A^{\prime }}=1\\ z_{A^{\prime }}=2\end{array}$

Vậy A’(2;1;2).

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên B’BDD’ là hình bình hành. Do đó $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$.

Suy ra $\{\begin{array}{c}{x}_{B^{\prime }}-5=-2\\ y_{B^{\prime }}-7=-5\\ z_{B^{\prime }}+4=7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_{B^{\prime }}=3\\ y_{B^{\prime }}=2\\ z_{B^{\prime }}=3\end{array}$

Vậy B’(3;2;3).

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên C’CDD’ là hình bình hành. Do đó $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$.

Suy ra $\{\begin{array}{c}{x}_{C^{\prime }}-5=-2\\ y_{C^{\prime }}-6=-5\\ z_{C^{\prime }}+4=7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_{C^{\prime }}=3\\ y_{C^{\prime }}=1\\ z_{C^{\prime }}=3\end{array}$

Vậy C’(3;1;3).