Giải bài tập 8 trang 77

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) $Δ : {\begin{cases} x = 1 + \sqrt{3} t \\ y = 2 \\ z = 3 + t \end{cases}$ (t là tham số) và $(P) : \sqrt{3} x + z - 2 = 0$ ;

b) $Δ : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \end{cases}$ (t là tham số) và $(P) : x + y + z - 4 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Gọi $(Δ, (P))$ là góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P). Khi đó, $\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | . | \vec{n} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $Δ$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (\sqrt{3}; 0; 1)$ .

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (\sqrt{3}; 0; 1)$ .

Ta có: $\sin ((P), Δ) = \frac{| \sqrt{3} . \sqrt{3} + 0.0 + 1.1 |}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 0^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{4}{4} = 1$ nên $((P), Δ) = 90^{o}$ .

b) Đường thẳng $Δ$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; - 1; 1)$ .

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 1; 1)$ .

Ta có: $\sin ((P), Δ) = \frac{| 1.1 + (- 1) .1 + 1.1 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{3}$ nên $((P), Δ) \approx 19^{o}$ .