Giải bài tập 8 trang 86

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ({Delta _1},{Delta _2}) trong mỗi trường hợp sau: a) ({Delta _1}:frac{{x + 1}}{3} = frac{{y + 5}}{4} = frac{{z - 5}}{{ - 1}}) và ({Delta _2}:frac{{x + 13}}{5} = frac{{y - 5}}{{ - 2}} = frac{{z + 17}}{7}); b) ({Delta _1}:frac{{x - 2}}{2} = frac{{y + 1}}{3

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y + 5}{4} = \frac{z - 5}{- 1}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 13}{5} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 17}{7}$ ;

b) $Δ_{1} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{- 7}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 10}{- 6} = \frac{y + 19}{- 9} = \frac{z - 45}{21}$ ;

c) $Δ_{1} : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 2}{3}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 13}{5} = \frac{y - 9}{- 2} = \frac{z + 13}{7}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng phân biệt $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $M_{1}, M_{2}$ và tương ứng có $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:

$Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ cùng phương và $\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}$ không cùng phương $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = \vec{0} \\ [\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}] \neq 0 \end{cases}$ .

$Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ $\Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ không cùng phương và $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{M_{1} M_{2}}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} = 0 \end{cases}$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} \neq 0$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (3; 4; - 1)$ và đi qua điểm $A (- 1; - 5; 5)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (5; - 2; 7)$ và đi qua điểm $B (- 13; 5; - 17)$ .

Vì $\frac{3}{5} \neq \frac{4}{- 2}$ , suy ra $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ không cùng phương.

Lại có: $\vec{A B} = (- 12; 10; - 22)$ , $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (| \begin{matrix} 4 & - 1 \\ - 2 & 7 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 1 & 3 \\ 7 & 5 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 3 & 4 \\ 5 & - 2 \end{matrix} |) = (26; - 26; - 26)$

Vì $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{A B} = 26. (- 12) - 26.10 - 26. (- 22) = 0$ nên $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{A B}$ đồng phẳng. Vậy $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

b) Đường thẳng $Δ_{1}$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; 3; - 7)$ và đi qua điểm $A (2; - 1; 4)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 6; - 9; 21)$ đi qua điểm $B (- 10; - 19; 45)$

Ta có: $- 3 \vec{u_{1}} = (- 6; - 9; 21) = \vec{u_{2}}$ nên $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ cùng phương.

Lại có: $\vec{A B} = (- 12; - 18; 41)$ , $\frac{- 12}{2} = \frac{- 18}{3} \neq \frac{41}{- 7}$ nên $\vec{u_{1}}, \vec{A B}$ không cùng phương. Vậy $Δ_{1}$ // $Δ_{2}$ .

c) Đường thẳng $Δ_{1}$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; 1; 3)$ và đi qua điểm $A (- 3; 5; 2)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (5; - 2; 7)$ và đi qua điểm $B (- 13; 9; - 13)$ .

Ta có: $\frac{1}{5} \neq \frac{1}{- 2}$ nên $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ không cùng phương.

Lại có: $\vec{A B} = (- 10; 4; - 15)$ , $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (| \begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 7 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 3 & 1 \\ 7 & 5 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 5 & - 2 \end{matrix} |) = (13; 8; - 7)$

Vì $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{A B} = 13. (- 10) + 8.4 - 7. (- 15) = 7 \neq 0$ nên $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{A B}$ không đồng phẳng. Vậy $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.