Giải bài tập 9.19 trang 83

Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng (widehat {IBD} = widehat {ICA},widehat {IAC} = widehat {IDB}) và (IA.IB = IC.ID).

Đề bài

Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng $\hat{I B D} = \hat{I C A}, \hat{I A C} = \hat{I D B}$ và $I A . I B = I C . I D$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh $\hat{A B D} + \hat{A C D} = 180^{o}$ , mà $\hat{I C A} + \hat{A C D} = 180^{o}$ nên $\hat{I B D} = \hat{I C A}$ .

+ Chứng minh $\hat{C A B} + \hat{C D B} = 180^{o}$ , mà $\hat{C A B} + \hat{I A C} = 180^{o}$ nên $\hat{I A C} = \hat{I D B}$ .

+ Chứng minh $Δ I A C ∽ Δ I D B \Rightarrow \frac{I A}{I C} = \frac{I D}{I B} \Rightarrow I A . I B = I C . I D$ .

Lời giải chi tiết

Tứ giác ABDC nội tiếp (O) nên $\hat{A B D} + \hat{A C D} = 180^{o}$ , mà $\hat{I C A} + \hat{A C D} = 180^{o}$ (hai góc kề bù) nên $\hat{I B D} = \hat{I C A}$

Tứ giác ABDC nội tiếp (O) nên $\hat{C A B} + \hat{C D B} = 180^{o}$ , mà $\hat{C A B} + \hat{I A C} = 180^{o}$ (hai góc kề bù) nên $\hat{I A C} = \hat{I D B}$

Tam giác IAC và tam giác IDB có:

Góc I chung

$\hat{I C A} = \hat{I B D}$ (cmt).

Do đó, $Δ I A C ∽ Δ I D B$ nên $\frac{I A}{I C} = \frac{I D}{I B}$ suy ra $I A . I B = I C . I D$ .