Giải bài tập 9.27 trang 89

Cho hình thoi ABCD có (widehat A = {60^o}). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.

Đề bài

Cho hình thoi ABCD có $\hat{A} = 60^{o}$ . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh tam giác ABD đều nên $B D = A B = A D$ .

+ Chứng minh $M B = B N = P D = D Q = M Q = N P = \frac{A B}{2}$ .

+ Chứng minh $\hat{B} = \hat{B N P} = \hat{N P D} = \hat{D} = \hat{D Q M} = \hat{Q M B} = 120^{o}$

+ Suy ra MBNPDQ là lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình thoi nên $A B = B C = C D = A D$ .

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên $M B = B N = N C = P C = P D = D Q = \frac{A B}{2}$ (1)

Tam giác ABD có: $A B = A D$ nên tam giác ABD là tam giác cân tại A, mà $\hat{A} = 60^{o}$ nên tam giác ABD đều. Do đó, $A B = B D$ .

Vì M, Q lần lượt là trung điểm của AB và AD (gt) nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, $M Q = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} A B$ (2).

Vì N, P lần lượt là trung điểm của BC và CD (gt) nên NP là đường trung bình của tam giác CBD. Do đó, $N P = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} A B$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $M B = B N = P D = D Q = M Q = N P$ (*)

Vì ABCD là hình thoi nên $\hat{A B C} = \hat{A D C}; \hat{C} = \hat{A} = 60^{o}$

Ta có:

$\hat{A B C} + \hat{A D C} + \hat{C} + \hat{A} = 360^{o} \Rightarrow \hat{A B C} = \hat{A D C} = 360^{o} - {2.60}^{o} = 120^{o}$

Tam giác NPC có: $N C = P C$ nên tam giác NPC cân tại C. Mà $\hat{C} = 60^{o}$ nên tam giác NPC đều.

Do đó, $\hat{C N P} = 60^{o}$

Ta có: $\hat{B N P} + \hat{P N C} = 180^{o}$ (hai góc kề bù) nên $\hat{B N P} = 120^{o}$

Chứng minh tương tự ta có:

$\hat{N P D} = \hat{D Q M} = \hat{Q M B} = 120^{o}$

Do đó: $\hat{A B C} = \hat{A D C} = \hat{B N P} = \hat{N P D} = \hat{D Q M} = \hat{Q M B} = 120^{o}$ (**)

Từ (*) và (**) ta có: MBNPDQ là lục giác đều.