Giải bài tập 9.28 trang 89

Đề bài

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.54. Phép quay ngược chiều $60^{o}$ tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F. Chứng minh rằng ADBECF là một lục giác đều.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh $A D = B D = B E = E C = F C = F A$ và $\hat{D A F} = \hat{A F C} = \hat{F C E} = \hat{C E B} = \hat{E B D} = \hat{B D A} = 120^{o}$ , suy ra ADBECF là lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Vì lục giác ADBECF nội tiếp đường tròn (O) nên $O A = O B = O C = O D = O E = O F$ .

Vì phép quay ngược chiều $60^{o}$ tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F nên $\hat{A O D} = \hat{B O E} = \hat{C O F} = 60^{o}$ .

Vì tam giác ABC đều nên AO, BO là các đường phân giác của tam giác ABC.

Ta có: $\hat{B A O} = \hat{A B O} = \frac{1}{2} \hat{A B C} = 30^{o}$

Tam giác OAB có: $\hat{B O A} = 180^{o} - \hat{B A O} - \hat{A B O} = 120^{0}$ .

Suy ra: $\hat{B O D} = \hat{A O B} - \hat{A O D} = 60^{o}$

Tam giác AOD cân tại O (do $O A = O D$ ), mà $\hat{A O D} = 60^{o}$ nên tam giác DAO đều.

Do đó, $D A = A O = O D, \hat{D A O} = \hat{A D O} = 60^{o}$

Tương tự ta có: $D O = O B = B D, \hat{O D B} = \hat{O B D} = 60^{o}$ , $E O = O B = B E, \hat{O E B} = \hat{O B E} = 60^{o}$ , $E O = O C = C E, \hat{O E C} = \hat{O C E} = 60^{o}$ , $F O = O C = C F, \hat{O F C} = \hat{O C F} = 60^{o}$ , $F O = O A = A F, \hat{O F A} = \hat{O A F} = 60^{o}$

Do đó, $A D = B D = B E = E C = F C = F A$ và $\hat{D A F} = \hat{A F C} = \hat{F C E} = \hat{C E B} = \hat{E B D} = \hat{B D A} = 120^{o}$

Vậy ADBECF là lục giác đều.