Giải bài tập 9.34 trang 91

Biết rằng bốn đỉnh A, B, C, D của một hình vuông cùng nằm trên một đường tròn (O) theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Phép quay thuận chiều ({45^o}) biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm E, F, G, H. a) Vẽ đa giác EAFBGCHD. b) Đa giác EAFBGCHD có phải là một hình bát giác đều hay không? V

Đề bài

Biết rằng bốn đỉnh A, B, C, D của một hình vuông cùng nằm trên một đường tròn (O) theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Phép quay thuận chiều $45^{o}$ biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm E, F, G, H.

a) Vẽ đa giác EAFBGCHD.

b) Đa giác EAFBGCHD có phải là một hình bát giác đều hay không? Vì sao?

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Vẽ đường tròn (O). Trên đường tròn vẽ hình vuông ABCD sao cho các đỉnh A, B, C, D theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ.

+ Vẽ điểm E thuộc đường tròn (O) sao cho $\hat{A O E} = 45^{o}$ và tia OA quay thuận theo chiều kim đồng hồ đến tia OE.

+ Xác định các điểm F, G, H tương tự như xác định điểm E. Nối A với E, E với D, D với H, H với C, C với G, G với B, B với F, F với A ta được đa giác EAFBGCHD.

b) Chứng minh $A E = E D = D H = H C = C G = B G = B F = F A$ và $\hat{F A E} = \hat{A E D} = \hat{E D H} = \hat{D H C} = \hat{H C G} = \hat{C G B} = \hat{G B F} = \hat{B F A}$ nên đa giác EAFBGCHD là bát giác đều.

Lời giải chi tiết

a) + Vẽ đường tròn (O). Trên đường tròn vẽ hình vuông ABCD sao cho các đỉnh A, B, C, D theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ.

+ Vẽ điểm E thuộc đường tròn (O) sao cho $\hat{A O E} = 45^{o}$ và tia OA quay thuận theo chiều kim đồng hồ đến tia OE.

b) Vì A, E, D, H, C, G, B, F cùng thuộc (O) nên

$O A = O E = O D = O H = O C = O G = O B = O F$

Vì ABCD là hình vuông nên

$\hat{A O D} = \hat{D O C} = \hat{B O C} = \hat{B O A} = 90^{o}$

Lại có: $\hat{A O E} = \hat{B O F} = \hat{C O G} = \hat{D O H} = 45^{o}$ nên $\hat{D O E} = \hat{A O F} = \hat{B O G} = \hat{C O H} = 45^{o}$

Ta có:

$Δ A O E = Δ D O E = Δ D O H = Δ C O H = Δ C O G = Δ B O G = Δ B O F = Δ A O F (c . g . c)$

Suy ra:

+) $A E = E D = D H = H C = C G = B G = B F = F A$

+) $\hat{O A E} = \hat{O E A} = \hat{O E D} = \hat{O D E} = \hat{O D H} = \hat{O H D} = \hat{O H C} = \hat{O C H} = \hat{O C G} = \hat{O G C} = \hat{O G B} = \hat{O B G}$ $= \hat{O B F} = \hat{O F B} = \hat{O F A} = \hat{F A O}$

Do đó, $\hat{F A E} = \hat{A E D} = \hat{E D H} = \hat{D H C} = \hat{H C G} = \hat{C G B} = \hat{G B F} = \hat{B F A}$

Đa giác EAFBGCHD có

$\hat{F A E} = \hat{A E D} = \hat{E D H} = \hat{D H C} = \hat{H C G} = \hat{C G B} = \hat{G B F} = \hat{B F A}$ và $A E = E D = D H = H C = C G = B G = B F = F A$ nên đa giác EAFBGCHD là hình bát giác đều.