Giải bài tập 9.4 trang 71

Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) (H.9.9). a) Biết rằng (widehat {AOC} = {60^o},widehat {BOD} = {80^o}). Tính số đo của góc AID. b) Chứng minh rằng (IA.IB = IC.ID).

Đề bài

Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) (H.9.9).

a) Biết rằng $\hat{A O C} = 60^{o}, \hat{B O D} = 80^{o}$ . Tính số đo của góc AID.

b) Chứng minh rằng $I A . I B = I C . I D$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Sử dụng mối liên hệ giữa góc nội tiếp và cung bị chắn suy ra: $\hat{I A C} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{C B}, \hat{A C I} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{A D}$ .

+ Sử dụng mối liên hệ giữa góc ở tâm và cung bị chắn suy ra: $s đ \overset{⌢}{D B} = \hat{D O B} = 80^{o}, s đ \overset{⌢}{A C} = \hat{A O C} = 60^{o}$ .

+ Tính được tổng $\hat{I A C} + \hat{A C I}$ .

+ Sử dụng tính chất góc ngoài tam giác tính được: $\hat{A I D} = \hat{I A C} + \hat{A C I}$ .

b) Sử dụng mối liên hệ giữa góc nội tiếp và cung bị chắn suy ra $\hat{I A D} = \hat{I C B}$ .

Chứng minh $Δ I A D ∽ Δ I C B (g - g)$ suy ra $I A . I B = I C . I D$ .

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn tâm (O) có:

+ Vì góc IAC là góc nội tiếp chắn cung BC nên $\hat{I A C} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{C B}$ .

+ Vì góc ACI là góc nội tiếp chắn cung AD nên $\hat{A C I} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{A D}$ .

+ Vì góc DOB là góc ở tâm chắn cung DB nên $s đ \overset{⌢}{D B} = \hat{D O B} = 80^{o}$

+ Vì góc AOC là góc ở tâm chắn cung AC nên $s đ \overset{⌢}{A C} = \hat{A O C} = 60^{o}$

Ta có: $\hat{I A C} + \hat{A C I} = \frac{s đ \overset{⌢}{C B} + s đ \overset{⌢}{A D}}{2} = \frac{360^{o} - s đ \overset{⌢}{D B} - s đ \overset{⌢}{A C}}{2} = \frac{220^{o}}{2} = 110^{o}$

Vì góc AID là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác AIC nên: $\hat{A I D} = \hat{I A C} + \hat{A C I} = 110^{o}$

b) Vì hai góc nội tiếp IAD và ICB cùng chắn cung DB của đường tròn (O) nên $\hat{I A D} = \hat{I C B}$

Lại có: $\hat{A I D} = \hat{C I B}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $Δ I A D ∽ Δ I C B (g - g)$

Suy ra $\frac{I A}{I C} = \frac{I D}{I B}$ nên $I A . I B = I C . I D$ (đpcm)