Giải bài tập 9.40 trang 92

Đề bài

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;

b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh $\hat{A E H} = \hat{A F H} = 90^{o}$ nên tam giác AEH vuông tại E, tam giác AHF vuông tại F.

+ Suy ra, tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I.

b) Chứng minh $\hat{I E A} = \hat{E B C}$ , $\hat{M C E} = \hat{M E C}$ , $\hat{E C B} + \hat{E B C} = 90^{o}$ nên $\hat{M E C} + \hat{I E A} = 90^{o}$ .

+ Tính được $\hat{I E M} = 90^{o}$ nên $I E ⊥ M E$ tại M, nên ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

+ Chứng minh tương tự ta có: MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Lời giải chi tiết

a) Vì BE, CF là đường cao của $Δ$ ABC nên $B E ⊥ A C, C F ⊥ A B$ $\Rightarrow \hat{A E H} = \hat{A F H} = \hat{B F C} = \hat{B E C} = 90^{o}$

Do đó, tam giác AFH vuông tại F và tam giác AEH vuông tại E.

Suy ra, bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Mà I là trung điểm của AH nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I.

b) Vì tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I nên $I A = I E$ . Do đó, $Δ$ IAE cân tại I nên $\hat{I A E} = \hat{I E A}$ .

Lại có: $\hat{E A I} = \hat{E B C}$ (cùng phụ với góc ACB) nên $\hat{I E A} = \hat{E B C}$ (1)

$Δ$ BEC vuông tại E, EM là đường trung tuyến nên $E M = M C$ . Do đó, $Δ$ MEC cân tại M.

Suy ra, $\hat{M C E} = \hat{M E C}$ (2)

$Δ$ BEC vuông tại E nên $\hat{E C B} + \hat{E B C} = 90^{o}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\hat{M E C} + \hat{I E A} = 90^{o}$ .

Mà $\hat{M E C} + \hat{I E A} + \hat{I E H} + \hat{H E M} = 180^{o} \Rightarrow \hat{I E M} = 90^{o}$ . Do đó, $I E ⊥ M E$ tại M. Mà E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF nên ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Chứng minh tương tự ta có: MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.