Giải bài tập 9 trang 27

Đề bài

Ở nhiệt độ ${37}^{\circ }C$, một phản ứng hóa học từ chất đầu A, chuyển hóa thành sản phẩm B theo phương trình: $A\to B$. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol $L^{-1}$) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với $x\ge 0$, thỏa mãn hệ thức $y^{\prime }\left(x\right)=-{7.10}^{-4}y\left(x\right)$ với $x\ge 0$. Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol $L^{-1}$.

a) Xét hàm số $f\left(x\right)=\ln y\left(x\right)$ với $x\ge 0$. Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol $L^{-1}$) từ thời điểm a(giây) đến thời điểm b(giây) với 0 < a < b theo công thức $\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}y\left(x\right)dx$. Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

Lời giải chi tiết

a) $f\left(x\right)=\ln y\left(x\right)$

$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=\frac{y^{\prime }\left(x\right)}{y\left(x\right)}=\frac{-{7.10}^{-4}y\left(x\right)}{y\left(x\right)}=-{7.10}^{-4}$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\int f^{\prime }\left(x\right)dx=\int -{7.10}^{-4}dx=-{7.10}^{-4}x+C$.

Vì $f\left(x\right)=\ln y\left(x\right)$ nên $y\left(x\right)=e^{f\left(x\right)}=e^{-{7.10}^{-4}x+C}$.

Theo đề bài, tại x = 0 thì y(x) = 0,05 nên:

$y\left(0\right)=0,05\iff e^{-{7.10}^{-4}.0+C}=0,05$

$\iff e^C=0,05\iff C=\ln 0,05$.

Vậy $f\left(x\right)=-{7.10}^{-4}x+\ln 0,05$.

b) Từ câu a) ta đã tính được $y\left(x\right)=e^{-{7.10}^{-4}x+\ln 0,05}$.

Nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây:

$\frac{1}{30-15}\underset{15}{\overset{30}{\int }}y\left(x\right)dx=\frac{1}{15}\underset{15}{\overset{30}{\int }}{e}^{-{7.10}^{-4}x+\ln 0,05}dx$

$=\frac{1}{15}\underset{15}{\overset{30}{\int }}{e}^{-{7.10}^{-4}x}{e}^{\ln 0,05}dx=\frac{e^{\ln 0,05}}{15}\underset{15}{\overset{30}{\int }}{e}^{-{7.10}^{-4}x}dx$

$=\frac{1}{300}\underset{15}{\overset{30}{\int }}{\left(e^{-{7.10}^{-4}}\right)}^{x}dx=\frac{1}{300}.\frac{{\left(e^{-{7.10}^{-4}}\right)}^x}{\ln e^{-{7.10}^{-4}}}|\begin{array}{c}30\\ \\ 15\end{array}$

$=\frac{1}{300\ln e^{-{7.10}^{-4}}}.{\left(e^{-{7.10}^{-4}}\right)}^x|\begin{array}{c}30\\ \\ 15\end{array}$

$\iff \frac{-100}{21}\left(e^{-{7.10}^{-4}.30}-e^{-{7.10}^{-4}.15}\right)\approx 0,049$ (mol $L^{-1}$).