Giải bài tập 9 trang 37

Đề bài

Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho:

a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất;

b) Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất;

c) Biểu thức $a{b}^2$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Ta có: a, b > 0 và a + b = 10.

a) Đặt: $f\left(a\right)=ab=a(10-a)=-a^2+10a$.

$f^{\prime }\left(a\right)=-2a+10=0\iff a=5$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, $\underset{(0;+\infty )}{max}f\left(a\right)=f\left(5\right)=25$.

Vậy để biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất là 25 thì a = 5 và b = 5.

b) Đặt: $f\left(a\right)=a^2+b^2=a^2+(10-a{)}^2=2a^2-20a+100$.

$f^{\prime }\left(a\right)=4a-20=0\iff a=5$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, $\underset{(0;+\infty )}{min}f\left(a\right)=f\left(5\right)=50$.

Vậy để biểu thức $a^2+b^2$ đạt giá trị nhỏ nhất là 50 thì a = 5 và b = 5.

c) Đặt: $f\left(a\right)=a{b}^2=a(10-a{)}^2=a^3-20a^2+100a$.

$f^{\prime }\left(a\right)=3a^2-40a+100=0\iff [\begin{array}{c}a=\frac{10}{3}\\ a=10\end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, $\underset{(0;+\infty )}{max}f\left(a\right)=f\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{4000}{27}$.

Vậy để biểu thức $a{b}^2$ đạt giá trị lớn nhất là $\frac{4000}{27}$ thì a = $\frac{10}{3}$ và b = $\frac{20}{3}$.