Giải bài tập 9 trang 43

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình chữ nhật với (AB = 2a), (AD = 5a), (SA = 3a). Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ (Oxyz) như hình dưới đây, tính khoảng cách từ điểm (A) đến mặt phẳng (left( {SBC} right).)

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật với $A B = 2 a$ , $A D = 5 a$ , $S A = 3 a$ . Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ $O x y z$ như Hình 19, tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S B C) .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xác định toạ độ các điểm $A$ , $S$ , $B$ , $C$ . Viết phương trình mặt phẳng $(S B C)$ , từ đó tính được khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S B C) .$

Lời giải chi tiết

Theo hình vẽ, toạ độ điểm $A$ là $A (0; 0; 0) .$

Điểm $B$ nằm trên trục $O x$ , $x_{B} > 0$ và $A B = 2 a$ nên toạ độ điểm $B$ là $B (2 a; 0; 0) .$

Điểm $S$ nằm trên trục $O z$ , $z_{S} > 0$ và $S A = 3 a$ nên toạ độ điểm $S$ là $S (0; 0; 3 a) .$

Điểm $D$ nằm trên trục $O y$ , $y_{D} > 0$ và $A D = 5 a$ nên toạ độ điểm $D$ là $D (0; 5 a; 0) .$

Điểm $C$ nằm trên mặt phẳng $(O x y)$ , $C B ⊥ O x$ , $C D ⊥ O y$ nên toạ độ điểm $C$ là $C (2 a; 5 a; 0) .$

Mặt phẳng $(S B C)$ đi qua $S$ , $B$ , $C$ . Ta có $\vec{S B} = (2 a; 0; - 3 a)$ và $\vec{B C} = (0; 5 a; 0)$ . Suy ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(S B C)$ là $\vec{u} = \frac{1}{a} \vec{S B} = (2; 0; - 3)$ và $\vec{v} = \frac{1}{a} \vec{B C} = (0; 5; 0) .$

Từ đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(S B C)$ là

$\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}] = (0.0 - (- 3) .5; (- 3) .0 - 2.0; 2.5 - 0.0) = (15; 0; 10) .$

Vậy phương trình mặt phẳng $(S B C)$ là

$15 (x - 0) + 0 (y - 0) + 10 (z - 3 a) = 0 \Leftrightarrow 3 x + 2 z - 6 a = 0.$

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(S B C)$ là:

$d (A, (S B C)) = \frac{| 3.0 + 2.0 - 6 a |}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}} = \frac{6 a \sqrt{13}}{13} .$