Giải bài tập 9 trang 45

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ ;

b) $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ ;

c) $y = \frac{3 x - 2}{x - 2}$ ;

d) $y = \frac{x}{2 x + 3}$ ;

e) $y = \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x}$ ;

g) $y = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x + 2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính f’(x). Tìm nghiệm của f’(x) = 0 và các giá trị sao cho f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính giới hạn tại vô cực $lim_{x \to \pm \infty} f (x)$ và tìm đường tiệm cận, điểm cực trị (nếu có).

Bước 4: Tìm một số điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua.

Bước 5: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.

Lời giải chi tiết

a) $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ .

TXĐ: R.

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ .

Cho $y = 0 \Rightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \end{matrix}$

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số đồng biến trong khoảng $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$ .

Hàm số nghịch biến trong khoảng (0;2).

b) $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 6 x$ .

TXĐ: R.

$y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x - 6 < 0$ với mọi x thuộc R.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số nghịch biến trên R.

c) $y = \frac{3 x - 2}{x - 2}$ .

TXĐ: D = R\2.

$y^{'} = \frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}} < 0$ , $\forall x \in D$ .

$lim_{x \to + \infty} \frac{3 x - 2}{x - 2} = 3$ suy ra TCN là y = 3.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{3 x - 2}{x - 2} = - \infty$ .

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số nghịch biến trên khoảng R.

d) $y = \frac{x}{2 x + 3}$ .

TXĐ: D = R \ { $- \frac{3}{2}$ }.

$y = \frac{1}{{(2 x + 3)}^{2}} > 0$ , $\forall x \in D$ .

TCN $y = \frac{1}{2}$ .

TCĐ $x = - \frac{3}{2}$ .

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

e) $y = \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x}$ .

TXĐ: $R ∖ {0}$ .

TCĐ: x = 0.

Không có tiệm cận ngang.

Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x + 2} = x + 2 + \frac{4}{x}$ , suy ra:

$\begin{array}{l} lim_{x \to + \infty} [y - (x + 2)] = lim_{x \to + \infty} \frac{4}{x} = 0. \\ lim_{x \to - \infty} [y - (x + 2)] = lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x} = 0. \end{array}$

Do đó, đồ thị hàm số có $y = x + 2$ là tiệm cận xiên.

$y^{'} = \frac{(2 x + 2) x - (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 4}{x^{2}}$ .

Cho $y^{'} = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ .

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

g) $y = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x + 2}$ .

TXĐ: $R ∖ {- 2}$ .

$lim_{x \to + \infty} y = + \infty, lim_{x \to - \infty} y = - \infty$ . Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$lim_{x \to - 2^{+}} y = - \infty, lim_{x \to - 2^{-}} y = + \infty$ . Đồ thị hàm số có $x = - 2$ là tiệm cận đứng.

Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: $y = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{x + 2} = x + 2 - \frac{1}{x + 2}$ , suy ra:

$\begin{array}{l} lim_{x \to + \infty} [y - (x + 2)] = lim_{x \to + \infty} \frac{- 1}{x + 2} = 0. \\ lim_{x \to - \infty} [y - (x + 2)] = lim_{x \to - \infty} \frac{- 1}{x + 2} = 0. \end{array}$

Do đó, đồ thị hàm số có $y = x + 2$ là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số: