Giải bài tập 9 trang 80

Đề bài

Trong một đợt khám sức khoẻ, người ta thấy có 15% người dân ở một khu vực mắc bệnh béo phì. Tỉ lệ người béo phì và thường xuyên tập thể dục là 2%. Biết rằng tỉ lệ người thường xuyên tập thể dục ở khu vực đó là 40%. Theo kết quả điều tra trên, việc tập thể dục sẽ làm giảm khả năng bị béo phì đi bao nhiêu lần?

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố “Một người thường xuyên tập thể dục”, $B$ là biến cố “Một người bị béo phì”.

Có 15% người dân ở một khu vực mắc bệnh béo phì nên ta có $P\left(B\right)=0,15$.

Tỉ lệ người béo phì và thường xuyên tập thể dục là 2% nên ta có $P\left(AB\right)=0,02$.

Tỉ lệ người thường xuyên tập thể dục ở khu vực đó là 40% nên ta có $P\left(A\right)=0,4$.

Do đó, $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,4=0,6$.

Vì $AB$ và $\overline{A}B$ là hai biến cố xung khắc và $AB\cup \overline{A}B=B$ nên theo tính chất của xác suất, ta có $P\left(\overline{A}B\right)=P\left(B\right)-P\left(AB\right)=0,15-0,02=0,13$.

Xác suất để một người mắc bệnh béo phì, biết rằng người đó không thường xuyên tập thể dục là: $P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{P\left(\overline{A}B\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=\frac{0,13}{0,6}=\frac{13}{60}$.

Xác suất để một người mắc bệnh béo phì, biết rằng người đó thường xuyên tập thể dục là: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,02}{0,4}=\frac{1}{20}=0,05$.

Vì $\frac{P\left(B|\overline{A}\right)}{P\left(B|A\right)}=\frac{13}{60}:\frac{1}{20}=\frac{13}{3}\approx 4,33$ nên việc tập thể dục sẽ làm giảm khả năng bị béo phì khoảng 4,33 lần.