Giải câu hỏi mở đầu trang 21

Đề bài

Ta đã biết công thức tính thể tích của khối cầu bán kính R là $V=\frac{4\pi R^3}{3}$. Làm thế nào để tìm ra công thức đó?

Lời giải chi tiết

Đường tròn tâm O(0;0), bán kính R có phương trình $x^2+y^2=R^2\iff y=\pm \sqrt{R^2-x^2}$.

Ta xét nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox: $y=\sqrt{R^2-x^2}$.

Khối cầu có bán kính R là khối tròn xoay nhận được khi qua nửa hình tròn giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{R^2-x^2}$ $\left(R\le x\le R\right)$ và trục Ox quanh trục Ox.

Từ đó, thể tích khối cầu là:

$V=\pi \underset{-R}{\overset{R}{\int }}\left(R^2-x^2\right)dx$

$=\pi \left(R^{2}x-\frac{x^3}{3}\right)|\begin{array}{c}{}^R\\ {}_{-R}\end{array}=\frac{4\pi R^3}{3}$.