Giải câu hỏi mở đầu trang 27

Trong 20 phút theo dõi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức (Q(t) = - frac{1}{5}{t^3} + 5{t^2} + 100), trong đó Q tính theo ({m^3})/phút, t tính theo phút, (0 le t le 20) (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Khi lưu lượng nước của con sông lên

Đề bài

Trong 20 phút theo dõi, lưu lượng nước của một con sông được tính theo công thức

$Q (t) = - \frac{1}{5} t^{3} + 5 t^{2} + 100$ ,

trong đó Q tính theo $m^{3}$ /phút, t tính theo phút, $0 \leq t \leq 20$ (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 $m^{3}$ /phút thì cảnh báo lũ được đưa ra. Trong thời gian theo dõi, lưu lượng nước của con sông lớn nhất là bao nhiêu? Cảnh báo lũ được đưa ra vào thời điểm nào?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm t sao cho $Q (t) \geq 550$ .

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $Q (t) = - \frac{1}{5} t^{3} + 5 t^{2} + 100$ với $t \in [0; 20]$ .

Ta có $Q^{'} (t) = - \frac{3}{5} t^{2} + 10 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = \frac{50}{3} \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của lưu lượng nước là $\frac{15200}{27}$ $m^{3}$ /phút tại thời điểm $t = \frac{50}{3}$ phút.

Cảnh báo lũ được đưa ra khi lưu lượng nước của con sông lên đến 550 $m^{3}$ /phút, khi đó:

$Q (t) \geq 550 \Leftrightarrow - \frac{1}{5} t^{3} + 5 t^{2} + 100 \geq 550 \Leftrightarrow - \frac{1}{5} t^{3} + 5 t^{2} - 450 \geq 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t \leq 5 - 5 \sqrt{7} \\ 15 \leq t \leq 5 + 5 \sqrt{7} \end{array}$

Mà $t \in [0; 20]$ nên $15 \leq t \leq 5 + 5 \sqrt{7}$ .

Vậy tại thời điểm $t \in [15; 5 + 5 \sqrt{7}]$ phút thì cảnh báo lũ được đưa ra.