Giải câu hỏi mở đầu trang 29

Đề bài

Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm cặp vectơ chỉ phương $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ .

+ Tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$ .

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ .

Lời giải chi tiết

Với $t = 0$ ta có: $M_{1} (1; 1; 1)$ .

Với $t = \frac{π}{2}$ ta có: $M_{2} (- 1; 1; 0)$ .

Với $t = π$ ta có: $M_{3} (- 1; - 1; - 1)$ .

Hai vectơ $\vec{M_{1} M_{2}} (- 2; 0; - 1)$ , $\vec{M_{1} M_{3}} (- 2; - 2; - 2)$ không cùng phương nên ba điểm $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ không thẳng hàng.

Mặt phẳng $(M_{1} M_{2} M_{3})$ có cặp vectơ chỉ phương $\vec{M_{1} M_{2}} (- 2; 0; - 1)$ , $\vec{M_{1} M_{3}} (- 2; - 2; - 2)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{M_{1} M_{2}}, \vec{M_{1} M_{3}}]$ .

Ta có: $\vec{n} = [\vec{M_{1} M_{2}}, \vec{M_{1} M_{3}}]$

$= (| \begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 2 & - 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 1 & - 2 \\ - 2 & - 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 2 & 0 \\ - 2 & - 2 \end{matrix} |)$

$= (- 2; - 2; 4)$ .

Mặt phẳng $(M_{1} M_{2} M_{3})$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (- 2; - 2; 4)$ và đi qua điểm $M_{2} (- 1; 1; 0)$ nên phương trình mặt phẳng $(M_{1} M_{2} M_{3})$ là:

$- 2 (x + 1) - 2 (y - 1) + 4 z = 0$

$\Leftrightarrow x + 1 + y - 1 - 2 z = 0$

$\Leftrightarrow x + y - 2 z = 0$ (1)

Với $M (\cos t - \sin t, \cos t + \sin t, \cos t)$ thay vào (1) ta có:

$\cos t - \sin t + \cos t + \sin t - 2 \cos t = 0$

$\Leftrightarrow 0 = 0 (L D)$ .

Vậy $M (\cos t - \sin t, \cos t + \sin t, \cos t)$ thuộc mặt phẳng $(M_{1} M_{2} M_{3})$ . Do đó, vật thể M luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định.