Giải câu hỏi mở đầu trang 32

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là đường elip (Hình 32). Độ cao h (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức

Đề bài

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là đường elip (Hình 32). Độ cao h (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức $h = 550 + 450 \cos \frac{π}{50} t$ (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Tại thời điểm t bằng bao nhiêu thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km; 250 km; 100 km?

Trên thực tế, có nhiều bài toán dẫn đến việc giải một trong các phương trình có dạng: sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m, trong đó x là ẩn số, m là số thực cho trước. Các phương trình đó là các phương trình lượng giác cơ bản.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết

- Để vệ tinh cách mặt đất 1 000 km thì $550 + 450 \cos (\frac{π}{50} t) = 1 000$

$\Leftrightarrow 450 \cos (\frac{π}{50} t) = 450$

$\Leftrightarrow \cos (\frac{π}{50} t) = 1$

$\Leftrightarrow \frac{π}{50} t = k 2 π$ ( $k \in Z$ , $t \geq 0$ )

$\Leftrightarrow t = k 2 π \cdot \frac{50}{π} = 100 k$ ( $k \in {0; 1; 2; 3; \dots}$ )

Vậy tại các thời điểm $t = 100 k$ (với $k \in Z$ , $t \geq 0$ ) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 1000 km.

- Để vệ tinh cách mặt đất 250 km thì $550 + 450 \cos (\frac{π}{50} t) = 250$

$\Leftrightarrow 450 \cos (\frac{π}{50} t) = - 300$

$\Leftrightarrow \cos (\frac{π}{50} t) = - \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{π}{50} t \approx \pm 2, 3 + k 2 π$ ( $k \in Z$ , $t \geq 0$ )

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp ta được kết quả gần đúng là 2,3)

${\begin{cases} t \approx \frac{115}{π} + 100 k \\ t \approx - \frac{115}{π} + 100 k \end{cases}$ ( $k \in Z$ , $t \geq 0$ )

Vậy tại các thời điểm $t \approx \pm \frac{115}{π} + 100 k$ (với $k \in Z$ , $t \geq 0$ ) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 250 km.

- Để vệ tinh cách mặt đất 100 km thì $550 + 450 \cos (\frac{π}{50} t) = 100$

$\Leftrightarrow 450 \cos (\frac{π}{50} t) = - 450$

$\Leftrightarrow \cos (\frac{π}{50} t) = - 1$

$\Leftrightarrow \frac{π}{50} t = π + k 2 π$ ( $k \in Z$ , $t \geq 0$ )

$\Leftrightarrow t = 50 + 100 k$ ( $k \in {0; 1; 2; 3; \dots}$ )

Vậy tại các thời điểm $t = 50 + 100 k$ (với $k \in Z$ , $t \geq 0$ ) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 100 km.