Giải câu hỏi mở đầu trang 32

Đề bài

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là đường elip (Hình 32). Độ cao h (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức $h=550+450\cos \frac{\pi }{50}t$ (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Tại thời điểm t bằng bao nhiêu thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km; 250 km; 100 km?

Trên thực tế, có nhiều bài toán dẫn đến việc giải một trong các phương trình có dạng: sinx = m, cosx = m, tanx = m, cotx = m, trong đó x là ẩn số, m là số thực cho trước. Các phương trình đó là các phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết

- Để vệ tinh cách mặt đất 1 000 km thì $550+450\cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)=1000$

 $\iff 450\cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)=450$

 $\iff \cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)=1$

 $\iff \frac{\pi }{50}t=k2\pi$ ($k\in Z$, $t\ge 0$)

 $\iff t=k2\pi \cdot \frac{50}{\pi }=100k$ ($k\in \{0;1;2;3;\dots \}$)

Vậy tại các thời điểm $t=100k$ (với $k\in Z$, $t\ge 0$) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 1000 km.

- Để vệ tinh cách mặt đất 250 km thì $550+450\cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)=250$

 $\iff 450\cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)=-300$

 $\iff \cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)=-\frac{2}{3}$

 $\iff \frac{\pi }{50}t\approx \pm 2,3+k2\pi$ ($k\in Z$, $t\ge 0$)

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp ta được kết quả gần đúng là 2,3)

$\{\begin{array}{c}t\approx \frac{115}{\pi }+100k\\ t\approx -\frac{115}{\pi }+100k\end{array}$ ($k\in Z$, $t\ge 0$)

Vậy tại các thời điểm $t\approx \pm \frac{115}{\pi }+100k$ (với $k\in Z$, $t\ge 0$) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 250 km.

- Để vệ tinh cách mặt đất 100 km thì $550+450\cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)=100$

 $\iff 450\cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)=-450$

$\iff \cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)=-1$

$\iff \frac{\pi }{50}t=\pi +k2\pi$ ($k\in Z$, $t\ge 0$)

$\iff t=50+100k$ ($k\in \{0;1;2;3;\dots \}$)

Vậy tại các thời điểm $t=50+100k$ (với $k\in Z$, $t\ge 0$) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 100 km.