Giải câu hỏi mở đầu trang 33

Đề bài

Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi p (nghìn đồng) là giá của mỗi vé; x là số khán giả mua vé.

Ta cần xác định hàm cầu p = p(x).

Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số p = p(x) là hàm số bậc nhất.

Giá vé $p_1=100$ ứng với $x_1=27000$ và giá vé $p_2=90$ ứng với $x_2=27000+3000=30000$.

Đường thẳng p = ax + b đi qua hai điểm (27 000; 100) và (30 000; 90) nên ta có:

$\{\begin{array}{c}100=27000a+b\\ 90=30000a+b\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=-\frac{1}{300}\\ b=190\end{array}$

$\Rightarrow p=-\frac{1}{300}x+190$

$\iff 300p=-x+57000$

$\iff x=-300p+57000$.

Hàm doanh thu từ tiền bán vé là:

$R\left(p\right)=px=p(-300p+57000)$

$=-300p^2+57000p$.

Ta cần tìm p sao cho R đạt giá trị lớn nhất. Ta có:

$R^{\prime }\left(p\right)=-600p+57000=0\iff p=95$.

Bảng biến thiên:

Vậy với giá vé là 95 nghìn đồng một vé thì doanh thu bán vé là lớn nhất.