Giải câu hỏi mở đầu trang 41

Đề bài

Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát ở điểm M(2;3;−4) và vật cần quan sát đặt tại điểm N(−1;0;8). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm O(0; 0; 0), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phẳng Oxy. Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ (t là tham số, $t \in R$ ).

Lời giải chi tiết

Đường thẳng MN đi qua điểm $M (2; 3; - 4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{M N} (- 3; - 3; 12)$ nên phương trình tham số của đường thẳng MN là: ${\begin{cases} x = 2 - 3 t \\ y = 3 - 3 t \\ z = - 4 + 12 t \end{cases} (t \in R)$ .

Mặt phẳng (Oxy) đi qua điểm $O (0; 0; 0)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{k} (0; 0; 1)$ nên phương trình mặt phẳng Oxy: $z = 0$ .

Vì D là giao điểm của đường thẳng MN với (Oxy) nên D $(2 - 3 t; 3 - 3 t; - 4 + 12 t)$

Mà D thuộc mặt phẳng (Oxy) nên $- 4 + 12 t = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3}$ . Do đó, $D (1; 2; 0)$ .

Ta có: $M D = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(2 - 3)}^{2} + {(0 + 4)}^{2}} = 3 \sqrt{2}$ .

$\vec{N D} (2; 2; - 8) \Rightarrow N D = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + {(- 8)}^{2}} = 6 \sqrt{2}$ , $M N = \sqrt{{(- 3)}^{2} + (- 3^{2}) + 12^{2}} = 9 \sqrt{2}$ .

Do đó, $M D + N D = M N$ . Mà D thuộc đường thẳng MN suy ra điểm D nằm giữa hai điểm M và N.

Do đó, tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N.