Giải câu hỏi mở đầu trang 72

Đề bài

Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0;0;4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là $Q_{1} (0; - 1; 0)$ , $Q_{2} (\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$ , $Q_{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}; 0)$ (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N. Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ , $\vec{F_{3}}$ tác dụng lên giá đỡ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vì chiếc máy cân bằng nên trọng lực của máy sẽ phân bố đều trên các chân của giá đỡ. Từ tọa độ các điểm đã cho, ta tìm được cái mối liên hệ với vecto lực và tìm được tọa độ của các vecto lực.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$| \vec{Q_{1} O} | = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(- 1 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = 1$ ;

$| \vec{Q_{2} O} | = \sqrt{{(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)}^{2} + {(\frac{1}{2} - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = 1$ ;

$| \vec{Q_{3} O} | = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{2} - 0)}^{2} + {(\frac{1}{2} - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = 1$ .

Do đó $Q_{1} O = Q_{2} O = Q_{3} O = 1$ , suy ra O là trọng tâm tam giác $Q_{1} Q_{2} Q_{3}$ .

Khi đó $\vec{P Q_{1}} + \vec{P Q_{2}} + \vec{P Q_{3}} = 3 \vec{P O}$ (tính chất trọng tâm).

Mặt khác, dễ dàng chứng minh độ dài các giá đỡ $P Q_{1} = P Q_{2} = P Q_{3}$ (do các tam giác vuông $P O Q_{1}$ , $P O Q_{2}$ , $P O Q_{3}$ bằng nhau). Các lực $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ , $\vec{F_{3}}$ cùng phương với các giá đỡ và có độ lớn bằng nhau nên ta có tỉ lệ:

$\frac{| \vec{F_{1}} |}{P Q_{1}} = \frac{| \vec{F_{2}} |}{P Q_{2}} = \frac{| \vec{F_{3}} |}{P Q_{3}} = k$ và $\vec{F_{1}} = k \vec{P Q_{1}}$ , $\vec{F_{2}} = k \vec{P Q_{2}}$ , $\vec{F_{3}} = k \vec{P Q_{3}}$ .

Từ $\vec{P Q_{1}} + \vec{P Q_{2}} + \vec{P Q_{3}} = 3 \vec{P O}$ đã chứng minh, ta được:

$k \vec{P Q_{1}} + k \vec{P Q_{2}} + k \vec{P Q_{3}} = 3 k \vec{P O}$

$\Leftrightarrow \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = 3 k \vec{P O}$ .

Mà $\vec{P O} = (0 - 0; 0 - 0; 0 - 4) = (0; 0; - 4)$ .

Suy ra $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = (0; 0; - 12 k)$ .

Giả sử $\vec{P}$ là trọng lực tác động lên cả 3 giá đỡ. $\vec{P}$ là lực vuông góc với mặt phẳng (Oxy), hướng xuống dưới (ngược chiều với trục Oz) nên tọa độ của $\vec{P} = (0; 0; - 360)$ .

Suy ra $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{P} \Leftrightarrow - 12 k = - 360 \Leftrightarrow k = 30$ .

Vậy $\vec{F_{1}} = k \vec{P Q_{1}} = (30.0; 30. (- 1); 30. (- 4)) = (0; - 30; - 120)$ ;

$\vec{F_{2}} = k \vec{P Q_{2}} = (30. \frac{\sqrt{3}}{2}; 30. \frac{1}{2}; 30. (- 4)) = (15 \sqrt{3}; 15; - 120)$ ;

$\vec{F_{3}} = k \vec{P Q_{3}} = (- 30. \frac{\sqrt{3}}{2}; 30. \frac{1}{2}; 30. (- 4)) = (- 15 \sqrt{3}; 15; - 120)$ .