Giải câu hỏi trang 48, 49

Bài toán 1

Dân số của thành phố A tăng theo từng năm kể từ năm 2000 đến nay. Giả sử số dân của thành phố trên được ước tính bởi công thức $f\left(t\right)=\frac{30t+18}{t+6}$ (nghìn người), trong đó $t$ là số năm kể từ năm $2000$. Chẳng hạn, ở thời điểm năm 2020 thì $t=2020-2000=20$.

a) Nếu xem $y=f\left(t\right)$ là hàm số xác định trên nửa khoảng $\left[0;+\infty \right)$ thì đạo hàm của nó biểu thị cho đại lượng nào?

b) Tính tốc độ tăng dân số của thành phố A vào năm 2005 và 2010 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Vào năm nào trong hai năm nêu trên, dân số của thành phố A tăng nhanh hơn?

c) Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số đạt mức 0,5 nghìn người/năm?

Phương pháp giải:

a) Áp dụng $s^{\prime }\left(t\right)=v\left(t\right)$ nên $f^{\prime }\left(t\right)$ sẽ biểu thị cho tốc độ tăng dân số.

b) Áp dụng công thức tính ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }.v-v^{\prime }.u}{v^2}$

Thay $t$ tìm được vào $f^{\prime }\left(t\right)$ là ta tìm được tốc độ tăng dân số của thành phố A vào năm đó

c) Giải phương trình $f^{\prime }\left(t\right)=0,5$

Lời giải chi tiết:

a) $f^{\prime }\left(t\right)$ biểu thị cho tốc độ tăng dân số của thành phố A

b) Ta có $f^{\prime }\left(t\right)=\frac{{\left(30t+18\right)}^{\prime }.\left(t+6\right)-{\left(t+6\right)}^{\prime }.\left(30t+18\right)}{{\left(t+6\right)}^2}=\frac{30\left(t+6\right)-\left(30t+18\right)}{{\left(t+6\right)}^2}=\frac{162}{{\left(t+6\right)}^2}$

+) Với năm $2005$ thì $t=2005-2000=5$.

Suy ra tốc độ tăng dân số là $f^{\prime }\left(5\right)=\frac{162}{{\left(5+6\right)}^2}=\frac{162}{121}\approx 1,34$nghìn người/năm

+) Với năm 2010 thì $t=2010-2000=10$

Suy ra tốc độ tăng dân số là $f^{\prime }\left(10\right)=\frac{162}{{\left(10+6\right)}^2}\approx 0,63$nghìn người/năm

c) Để tốc độ tăng dân số đạt mức $0,5$ nghìn người/năm là

$f^{\prime }\left(t\right)=0,5\iff \frac{162}{{\left(t+6\right)}^2}=0,5\iff {\left(t+6\right)}^2=324\iff t+6=18\iff t=12$

Vậy năm $2012$ thì tốc độ tăng dân số đạt mức $0,5$ nghìn người/năm

Bài toán 2

Một bể chứa nước đang chứa $20m^3$ nước. Một người cần lấy nước để sử dụng nên đã mở van ở đáy bể để nước chảy vào thùng chứa. Giả sử thể tích nước trong thùng chứa tăng dần theo thời gian và được ước tính bởi hàm số $V\left(t\right)=t-\frac{1}{80}{t}^2\left(0\le t\le 40\right)$.

a) Có thể xem tốc độ nước chảy vào thùng bằng với tốc độ tăng của thể tích nước trong thùng. Tính tốc độ nước chảy vào thùng chứa tại thời điểm $t=5$ phút và $t=15$ phút.

b) Nước chảy vào thùng chứa nhanh nhất tại thời điểm nào?

Phương pháp giải:

a) Vì tốc độ nước chảy vào thùng bằng với tốc độ tăng của thể tích nước trong thùng nên tốc độ nước chảy vào thùng là $V\left(t\right)=t-\frac{1}{80}{t}^2$

b) Biến đổi $V\left(t\right)$ về dạng bình phương

Lời giải chi tiết:

a) Vì tốc độ nước chảy vào thùng bằng với tốc độ tăng của thể tích nước trong thùng nên tốc độ nước chảy vào thùng là $V\left(t\right)=t-\frac{1}{80}{t}^2$

$V\left(5\right)=5-\frac{1}{80}{.5}^2=4,6875$ $m^3$/phút

$V\left(15\right)=15-\frac{1}{80}{.15}^2=12,1875$$m^3$/phút

b) Ta có $V\left(t\right)=-\frac{1}{80}\left(t^2-80t\right)=-\frac{1}{80}{\left(t-40\right)}^2+20\le 20$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $t-40=0\iff t=40$ 

Vậy tại thời điểm $t=40$ thì nước chảy vào thùng nhanh nhất

Bài toán 3

Để đo lường khả năng nắm vững kiến thức của sinh viên sau khi kết thức khóa học, một nhà nghiên cứu tiến hành cho sinh viên làm bài kiểm tra mỗi tháng trong vòng 12 tháng kể từ ngày kết thức khóa học. Giả sử điểm số trung bình $s\left(t\right)$ của các sinh viên đạt được trong bài kiểm tra ở tháng thứ $t$ được tính bởi $s\left(t\right)=7.e^{-0,2t}+1$ với $s\left(t\right)$ tính bằng điểm, $0\le t\le 12$. Nếu xem $y=s\left(t\right)$ là hàm số xác định trên $\left[0;12\right]$ thì $\left|s^{\prime }\left(t\right)\right|$ biểu thị tốc độ giẩm điểm số tại tháng thứ $t$ trong đợt khảo sát.

Tính tốc độ giảm điểm số tại $t=2$ và $t=6$. Tại thời điểm nào trong hai thời điểm trên, điểm số của các sinh viên được khảo sát giảm nhanh hơn?

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của hàm số $s\left(t\right)$.

Áp dụng công thức ${\left(e^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }.e^u$

Thay $t=2;t=6$ vào $\left|s^{\prime }\left(t\right)\right|$ ta tìm được tốc độ giảm điểm số

Lời giải chi tiết:

Ta có $s^{\prime }\left(t\right)={\left(7e^{-0,2t}+1\right)}^{\prime }=7.e^{-0,2t}.{\left(-0,2t\right)}^{\prime }=-1,4.e^{-0,2t}$

$\Rightarrow \left|s^{\prime }\left(t\right)\right|=1,4.e^{-0,2t}$ là tốc độ giảm điểm số tại tháng thứ $t$

+) Với $t=2$ thì tốc độ giảm điểm số  là $1,4.e^{-0,2.2}\approx 0,9384$

+) Với $t=6$ thì tốc độ giảm điểm số là $1,4.e^{-0,2.6}\approx 0,4217$

Vậy tại thời điểm $t=2$ thì điểm số của sinh viên được khảo sát giảm nhanh hơn

Bài toán 4

Cân nặng của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng được ước tính bởi hàm số $y=f\left(t\right)=0,00031t^3-0,02396t^2+0,76806t+3,3$ và có đồ thị như sau (nguồn: https://www.vinmec.com): 

a) Tính tốc độ tăng cân nặng của bé gái tại thời điểm 5 tháng tuổi.

b) Trong ba thời điểm $t=5;t=10;t=15$, thời điểm nào cân nặng bé gái tăng nhanh nhất?

Phương pháp giải:

a) Tốc độ tăng cân nặng chính là đạo hàm của hàm $f\left(t\right)$

b) Thay $t=5;t=10;t=15$ vào đạo hàm của hàm $f\left(t\right)$

Lời giải chi tiết:

a) Tốc độ tăng cân nặng là $f^{\prime }\left(t\right)=0,00093t^2-0,04792t+0,76806$

Vậy tốc tăng cân nặng của bé gái tại thời điểm $5$ tháng tuổi là

$f^{\prime }\left(5\right)=0,55171$

b) Tại thời điểm $t=5$ là $f^{\prime }\left(5\right)=0,55171$

Tại thời điểm $t=10$ là $f^{\prime }\left(10\right)=0,38186$

Tại thời điểm $t=15$ là $f^{\prime }\left(15\right)=0,25851$

Vậy tại thời điểm $t=5$ tháng là cân nặng của bé gái tăng nhanh nhất.