Giải mục 1 trang 105, 106

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 105 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}$.

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ $u_n$ đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức số hạng tổng quát tìm được 5 số hạng đầu tiên và biểu diễn trên trục số.

Lời giải chi tiết:

a) $u_1=-1;u_2=\frac{1}{2};u_3=-\frac{1}{3};u_4=\frac{1}{4};u_5=-\frac{1}{5}$.

b) Ta có: $u_{100}=0,01$ suy ra bắt đầu từ số hạng thứ 101 khoảng cách từ số hạng đến 0 nhỏ hơn 0,01.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 105 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Chứng minh rằng: $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{3^n}=0$.

Phương pháp giải:

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left|u_n\right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải chi tiết:

$\left|u_n\right|=\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{3^n}$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n đủ lớn.

Ta có: $\left|u_n\right|<1,69.{10}^{-5}$ ta cần n > 10.

Vậy các số hạng của dãy số kể từ số hạng thứ 11 đều có giá trị nhỏ hơn $1,69.{10}^{-5}$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 105 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n}$. Xét dãy số $\left(v_n\right)$ xác định bởi $v_n=u_n-1$. Tính $\underset{n\to +\infty }{lim}{v}_n$.

Phương pháp giải:

Dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu $\left(u_n-a\right)=0$.

Lời giải chi tiết:

$u_n=u_n-1=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n}-1$

$=\frac{n+{\left(-1\right)}^n-n}{n}=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}\to 0$ khi $n\to +\infty$.

Do vậy $v_n=0$.

LT2

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{{3.2}^n-1}{2^n}$. Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n=3$.

Phương pháp giải:

$u_n=a$ khi và chỉ khi $\left(u_n-a\right)=0$.

Lời giải chi tiết:

$u_n=\frac{3.2^n-1}{2^n}-3=\frac{3.2^n-1-3.2^n}{2^n}$

$=-\frac{1}{2^n}\to 0$ khi $n\to +\infty$.

Do vậy $u_n=3$.

VD1

Trả lời câu hỏi vận dụng 1 trang 106 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử $u_n$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn là 0.

Phương pháp giải:

$u_n=a$ khi và chỉ khi $\left(u_n-a\right)=0$.

Tìm được độ cao của quả bóng sau mỗi lần chạm sàn là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

Độ cao quả bóng sau 1 lần chạm sàn: $u_1=5.\frac{2}{3}$ (m).

Độ cao quả bóng sau 2 lần chạm sàn: $u_2=5.{\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ (m).

…

Độ cao quả bóng sau n lần chạm sàn: $u_n=5.{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ (m).

Vì $|q|=\frac{2}{3}<1$ nên $u_n=5.{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Khi đó giới hạn của $u_n=5.{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ bằng 0.