Giải mục 1 trang 106, 107

HĐ1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 106 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O;R\right)$. Gọi $H$ là hình chiếu của tâm $O$ trên đường thẳng $a$ (Hình 33).

a) So sánh khoảng cách $OH$ từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$ và bán kính $R$.

b) Điểm $H$ có thuộc đường tròn $\left(O;R\right)$ hay không?

c) Điểm $H$ có phải là tiếp điểm của đường thẳng $a$ và đường tròn $\left(O;R\right)$ hay không?

d) Đường thẳng $a$ có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm hay không?

Phương pháp giải:

Dựa vào hình ảnh trực quan để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a) $OH=R$.

b) Điểm $H$ có thuộc đường tròn $\left(O;R\right)$.

c) Điểm $H$ là tiếp điểm của đường thẳng $a$ và đường tròn $\left(O;R\right)$.

d) Đường thẳng $a$ có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 107 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng, trong đó $B$ nằm giữa $A$ và $C$. Đường tròn $\left(O\right)$ tiếp xúc với đường thẳng $AB$ tại điểm $C$. Chứng minh: $A{O}^2+B{C}^2=B{O}^2+A{C}^2$.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức vừa học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Vì đường thẳng $AB$ tiếp xúc với đường tròn $\left(O\right)$ tại $C$ nên $OC\perp AB$. Suy ra tam giác $OBC$ vuông tại $C$, tam giác $OAC$ vuông tại C.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $OAC$ vuông tại $C$, ta có:

$O{A}^2=O{C}^2+A{C}^2\Rightarrow O{C}^2=O{A}^2-A{C}^2\left(1\right)$.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $OBC$ vuông tại $C$, ta có:

$O{B}^2=O{C}^2+B{C}^2\Rightarrow O{C}^2=O{B}^2-B{C}^2\left(2\right)$.

Từ (1) và (2) suy ra $O{A}^2-A{C}^2=O{B}^2-B{C}^2\Rightarrow O{A}^2+B{C}^2=O{B}^2+A{C}^2$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 107 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $\left(O;R\right)$ thỏa mãn đường thẳng $a$ đi qua điểm $H$ thuộc đường tròn $\left(O;R\right)$ và $a\perp OH$.

a) So sánh khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $a$ và bán kính $R$.

b) Giả sử $N$ là điểm thuộc đường thẳng $a$ và $N$ khác $H$. So sánh $ON$ và $R$. Điểm $N$ có thuộc đường tròn $\left(O;R\right)$ hay không?

c) Đường thẳng $a$ có phải là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O;R\right)$ hay không?

Phương pháp giải:

Dựa vào hình ảnh trực quan và các kiến thức đã học để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $a$ là đoạn $OH$.

Do điểm $H$ thuộc đường tròn $\left(O;R\right)$ nên $OH=R$.

Vậy khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $a$ bằng bán kính $R$.

b) Xét tam giác $OHN$ vuông tại $H$ có: $ON$ là cạnh huyền, $OH$ là cạnh góc vuông.

Suy ra $ON>OH$, lại có $OH=R$. Vậy $ON>R$.

Điểm $N$ không thuộc đường tròn $\left(O;R\right)$.

c) Đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O;R\right)$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 107 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho hai đường tròn $\left(O;R\right)$ và $\left(O^{\prime };R^{\prime }\right)$ tiếp xúc ngoài nhau tại điểm $I$. Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left(O;R\right)$ tại điểm $I$. Chứng minh $d$ là tiếp tuyến của $\left(O^{\prime };R^{\prime }\right)$.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức vừa học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Vì (O;R) và (O';R') tiếp xúc ngoài nhau tại I nên O, I, O' thẳng hàng và I nằm giữa O và O'.

Do $d$ là tiếp tuyến của $\left(O;R\right)$ tại điểm $I$ nên $OI\perp d$ hay  $O^{\prime }I\perp d$.

Mà $I\in \left(O^{\prime }\right),I\in d$ nên $d$ là tiếp tuyến của $\left(O^{\prime };R^{\prime }\right)$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 108 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho hai đường tròn $\left(O\right),\left(O^{\prime }\right)$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$ sao cho đường thẳng $OA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$. Chứng minh đường thẳng $O^{\prime }B$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$.

Phương pháp giải:

Dựa vào các kiến thức vừa học để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Do $OA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$ nên $O^{\prime }A\perp OA$. Vậy $\widehat{OA{O}^{\prime }}={90}^{\circ }$.

Xét tam giác $OA{O}^{\prime }$ và tam giác $OB{O}^{\prime }$ có:

$\{\begin{array}{c}{O}^{\prime }A=O^{\prime }B\\ O{O}^{\prime }chung\\ OA=OB\end{array}$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \Delta OA{O}^{\prime }=\Delta OB{O}^{\prime }\left(c.c.c\right)\\ \Rightarrow \widehat{OA{O}^{\prime }}=\widehat{OB{O}^{\prime }}\end{array}$.

Mà $\widehat{OA{O}^{\prime }}={90}^{\circ }$ nên $\widehat{OB{O}^{\prime }}={90}^{\circ }$ hay $OB\perp O^{\prime }B$.

Vậy đường thẳng $O^{\prime }B$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$.