Giải mục 1 trang 11, 12, 13, 14

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc $v\left(t\right)=3t+2$ (m/s). Gọi $s\left(t\right)$ là quãng đường vật đi được đến thời điểm $t$ giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm $t=3$ giây đến thời điểm $t=5$ giây.

a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng $L=s\left(5\right)-s\left(3\right)$.

b) Gọi $F\left(t\right)$ là một nguyên hàm bất kì của $v\left(t\right)$. So sánh $L$ và $F\left(5\right)-F\left(3\right)$.

Phương pháp giải:

a) Đại lượng $L=s\left(5\right)-s\left(3\right)$ biểu diễn quãng đường vật đi được từ thời điểm $t=3$ giây đến thời điểm $t=5$ giây.

b) Ta cần tìm nguyên hàm của hàm vận tốc $v\left(t\right)$ để tìm hàm quãng đường $s\left(t\right)$. So sánh $L$ với hiệu của giá trị nguyên hàm tại $t=5$ và $t=3$.

Lời giải chi tiết:

a) $L=s\left(5\right)-s\left(3\right)$ là quãng đường mà vật đã đi được từ thời điểm $t=3$ giây đến thời điểm $t=5$ giây.

b) Ta biết rằng $s\left(t\right)$ là một nguyên hàm của $v\left(t\right)=3t+2$. Tính nguyên hàm của $v\left(t\right)$:

$F\left(t\right)=\int (3t+2)dt=\frac{3t^2}{2}+2t+C$

Do đó:

$F\left(5\right)-F\left(3\right)=\left(\frac{3{\left(5\right)}^2}{2}+2\left(5\right)+C\right)-\left(\frac{3{\left(3\right)}^2}{2}+2\left(3\right)+C\right)$

$=\left(\frac{75}{2}+10\right)-\left(\frac{27}{2}+6\right)$

$=\frac{75+20}{2}-\frac{27+12}{2}=\frac{95}{2}-\frac{39}{2}=\frac{56}{2}=28\left(m\right)$

Do đó, $L=F\left(5\right)-F\left(3\right)$, tức là quãng đường $s\left(5\right)-s\left(3\right)$ chính là hiệu của hai giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm tương ứng.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Gọi $\left(H\right)$ là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng $y=2x+1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=t$ (1 ≤ t ≤ 4) (Hình 4.3a).

a) Tính diện tích $S$ của hình $\left(H\right)$ khi $t=4$ (Hình 4.3b).

b) Tìm hàm số $S\left(t\right)$ biểu thị diện tích của hình $\left(H\right)$ với $t\in [1;4]$.

c) Chứng minh $S\left(t\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(t\right)=2t+1$ trên đoạn [1; 4] và $S=S\left(4\right)-S\left(1\right)$.

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích hình thang vuông bằng công thức trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy. Trong trường hợp này thì độ dài chiều cao sẽ là khoảng cách từ $x_1$ đến $x_2$ và độ dài hai cạnh đáy sẽ là giá trị của $y$ tại hai điểm $x_1$ và $x_2$.

b) Xét diện tích hình thang tổng quát khi $t$ thay đổi, tìm hàm số diện tích $S\left(t\right)$.

c) Chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của hàm số $S\left(t\right)$ và so sánh với $f\left(t\right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Khi $t=4$, diện tích của hình thang vuông $\left(H\right)$ là:

$S=\frac{1}{2}\times (y_1+y_2)\times (x_2-x_1)$

Trong đó: $y_1=2\left(1\right)+1=3$ $y_2=2\left(4\right)+1=9$ $x_1=1$, $x_2=4$.

Do đó:

$S=\frac{1}{2}\times (3+9)\times (4-1)=\frac{1}{2}\times 12\times 3=18$ (đơn vị diện tích)

b) Diện tích hình thang tổng quát khi $t$ thay đổi từ 1 đến 4:

$S\left(t\right)=\frac{1}{2}\times (y_1+y(t\left)\right)\times (t-1)$

Trong đó: $y_1=3$ $y\left(t\right)=2t+1$ $x_1=1$, $x_2=t$ Do đó:

$S\left(t\right)=\frac{1}{2}\times (3+2t+1)\times (t-1)=\frac{1}{2}S\left(t\right)=\frac{1}{2}\times (2t+4)\times (t-1)$

$S\left(t\right)=(t+2)\times (t-1)=t^2-t+2t-2=t^2+t-2$

c) Chứng minh $S\left(t\right)$ là nguyên hàm của hàm $f\left(t\right)=2t+1$:

$S\left(t\right)=t^2+t-2$

Lấy đạo hàm của $S\left(t\right)$:

$S^{\prime }\left(t\right)=2t+1=f\left(t\right)$

Do đó, $S\left(t\right)$ là nguyên hàm của $f\left(t\right)=2t+1$. Cuối cùng, diện tích $S=S\left(4\right)-S\left(1\right)$ được tính như sau:

$S\left(4\right)=4^2+4-2=16+4-2=18$

$S\left(1\right)=1^2+1-2=1+1-2=0$

$S=18-0=18$ (đơn vị diện tích).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hàm số $f\left(x\right)=2x$.

a) Tìm các hàm số $F\left(x\right),G\left(x\right)$ là nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên đoạn $[a;b].$

b) So sánh $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ và $G\left(b\right)-G\left(a\right)$.

Phương pháp giải:

a)

- Nguyên hàm của một hàm số $f\left(x\right)$ là một hàm số $F\left(x\right)$ sao cho $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$.

- Để tìm nguyên hàm của $f\left(x\right)$, ta thực hiện việc tích phân $f\left(x\right)$ theo $x$.

b)

- Hai nguyên hàm của cùng một hàm số $f\left(x\right)$ chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu $F\left(x\right)$ và $G\left(x\right)$ đều là nguyên hàm của $f\left(x\right)$, thì $F\left(x\right)=G\left(x\right)+C$ với $C$ là một hằng số. Từ đó, tính hiệu $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ và $G\left(b\right)-G\left(a\right)$ để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) Xét hàm số $f\left(x\right)=2x$. Nguyên hàm của $f\left(x\right)$ được tính bằng cách tích phân:

$F\left(x\right)=\int 2xdx$

Áp dụng công thức tích phân:

$F\left(x\right)=\int 2xdx=x^2+C_1$

Trong đó, $C_1$ là hằng số tích phân. Tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của $f\left(x\right)$:

$G\left(x\right)=\int 2xdx=x^2+C_2$

Trong đó, $C_2$ là một hằng số khác. Như vậy, hai nguyên hàm của $f\left(x\right)$ có dạng:

$F\left(x\right)=x^2+C_1$

$G\left(x\right)=x^2+C_2$

b)

Ta có:

$F\left(b\right)-F\left(a\right)=\left(x^2+C_1\right){|}_{x=a}^{x=b}=(b^2+C_1)-(a^2+C_1)=b^2-a^2$

Và:

$G\left(b\right)-G\left(a\right)=\left(x^2+C_2\right){|}_{x=a}^{x=b}=(b^2+C_2)-(a^2+C_2)=b^2-a^2$

Từ đây, dễ thấy rằng:

$F\left(b\right)-F\left(a\right)=G\left(b\right)-G\left(a\right)=b^2-a^2$

Kết luận: Mặc dù $F\left(x\right)$ và $G\left(x\right)$ là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ và $G\left(b\right)-G\left(a\right)$ luôn bằng nhau, và đều bằng $b^2-a^2$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{3}dx;$

b) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos udu.$

Phương pháp giải:

- Tìm nguyên hàm của hai hàm số.

- Áp dụng công thức của tích phân xác định:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

trong đó, $F\left(x\right)$ là nguyên hàm của $f\left(x\right)$.

Lời giải chi tiết:

a)

Tìm nguyên hàm của $x^3$:

$\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4}+C$

Do đó, nguyên hàm của $f\left(x\right)=x^3$ là $F\left(x\right)=\frac{x^4}{4}$. Áp dụng công thức tính tích phân xác định:

$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{3}dx={\left[\frac{x^4}{4}\right]}_1^3$

Thay giá trị $x=3$ và $x=1$ vào nguyên hàm:

$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{3}dx=\frac{3^4}{4}-\frac{1^4}{4}=\frac{81}{4}-\frac{1}{4}=\frac{80}{4}=20$

Kết quả:

$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{3}dx=20$

b)

Tìm nguyên hàm của $\cos u$:

$\int \cos udu=\sin u+C$

Do đó, nguyên hàm của $f\left(u\right)=\cos u$ là $F\left(u\right)=\sin u$. Áp dụng công thức tính tích phân xác định:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos udu={\left[\sin u\right]}_0^{\pi }$

Thay giá trị $u=\pi$ và $u=0$ vào nguyên hàm:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos udu=\sin \left(\pi \right)-\sin \left(0\right)=0-0=0$

Kết quả:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos udu=0$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm $f\left(x\right)=2^x$ và $F\left(0\right)=0$. Tính $F\left(1\right)$.

Phương pháp giải:

- Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2^x$:

- Áp dụng công thức của tích phân xác định để tìm $F\left(1\right)$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

trong đó, $F\left(x\right)$ là nguyên hàm của $f\left(x\right)$.

Lời giải chi tiết:

Tìm nguyên hàm của $f\left(x\right)=2^x$:

$F\left(x\right)=\int 2^{x}dx$

Sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ, ta có:

$F\left(x\right)=\frac{2^x}{\ln 2}+C$

Áp dụng công thức tính tích phân xác định, ta có:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(1\right)-F\left(0\right)$

Suy ra:

$F\left(1\right)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)+F\left(0\right)=\frac{2^1}{\ln 2}-\frac{2^0}{\ln 2}+0=\frac{1}{\ln 2}$

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=1$, $x=4$. (Hình 4.6).

Phương pháp giải:

- Thiết lập tích phân để tính diện tích hình thang cong:

$S={\int }_1^4\sqrt{x}dx$

- Tính tích phân xác định từ 1 đến 4 của hàm $\sqrt{x}$.

Lời giải chi tiết:

Thiết lập tích phân:

$S={\int }_1^4\sqrt{x}dx={\int }_1^4{x}^{1/2}dx$

Tính tích phân:

$\int x^{1/2}dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}{x}^{3/2}+C$

Do đó, diện tích cần tìm là:

$S={\left[\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right]}_1^4=\frac{2}{3}\left[4^{3/2}-1^{3/2}\right]$

Tính giá trị cụ thể:

$4^{3/2}=(2^2{)}^{3/2}=2^3=8$

$S=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{2}{3}\times 7=\frac{14}{3}$