Giải mục 1 trang 11

Khám phá 1

Quan sát các điểm được vẽ trên mặt phẳng tọa độ (Hình 1).

a) Có nhận xét gì về các vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{B{B}^{\prime }},...,\overrightarrow{E{E}^{\prime }}$

b) Có hay không phép biến hình biến các điểm A, B, C, D, E thành các điểm A’, B’, C’, D’, E’?

Phương pháp giải:

Quan sát hình 1, nhận xét về hướng, độ dài của các vectơ

Lời giải chi tiết:

a) Quan sát Hình 1, ta thấy các vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{B{B}^{\prime }},...,\overrightarrow{E{E}^{\prime }}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Vậy $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{E{E}^{\prime }}$

b) Ta đặt $\vec{u}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{E{E}^{\prime }}$

Khi đó tồn tại phép biến hình biến điểm A thành điểm A’ sao cho $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{u}$

Tương tự như vậy, ta thấy phép biến hình đó cũng biến các điểm B, C, D, E thành các điểm B’, C’, D’, E’ sao cho $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{E{E}^{\prime }}=\vec{u}$

Vậy có phép biến hình biến các điểm A, B, C, D, E thành các điểm A’, B’, C’, D’, E’

Thực hành 1

Chứng minh phép đồng nhất là một phép tịnh tiến.

Phương pháp giải:

Cho vectơ $\overrightarrow{u}$, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{u}$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử A’ là ảnh của A qua phép đồng nhất f. Tức là, A’ = f(A).

Suy ra $A^{\prime }\equiv A$ hay $A{A}^{\prime }=0.$

Khi đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{0}$.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì, ta lấy điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép đồng nhất f.

Khi đó ta cũng có $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\vec{0}$.

Vậy phép đồng nhất là một phép tịnh tiến theo $\vec{0}$

Vận dụng 1

Tìm độ dài vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$ biến các điểm A, B, C, D, E thành A’, B’, C’, D’, E’ trong Hoạt động khám phá 1 (biết cạnh mỗi ô vuông là 1 đơn vị).

Phương pháp giải:

Cho vectơ $\overrightarrow{u}$, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{u}$.

Nếu $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ là ảnh của $M(x;y)$ qua phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$ , $\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)$ thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x+a\\ y^{\prime }=y+b\end{array}$

Lời giải chi tiết:

Từ Hoạt động khám phá 1, ta có $\vec{u}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{E{E}^{\prime }}$.

Ta đặt $\vec{v}=\vec{u}$

Khi đó phép tịnh tiến theo $\vec{v}=\vec{u}$ biến các điểm A, B, C, D, E thành điểm A’, B’, C’, D’, E’.

Dựng $\Delta A{A}^{\prime }M$ vuông tại M (như hình vẽ).

Ta có $AM=1$ (đơn vị), $A^{\prime }M=10$ (đơn vị) (do cạnh mỗi ô vuông là 1 đơn vị).

Suy ra $A{A}^{\prime }=\sqrt{A{M}^2+A^{\prime }{M}^2}=\sqrt{1^2+{10}^2}=\sqrt{101}$.

Khi đó $\left|\vec{v}\right|=\left|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|=A{A}^{\prime }=\sqrt{101}$

Vậy độ dài vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$ là $\sqrt{101}$.