Giải mục 1 trang 111, 112, 113

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 111 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hàm số f(x)=4−x2x−2$f\left(x\right)=\frac{4-x^2}{x-2}$.

a) Tìm tập xác định của hàm số f(x)$f\left(x\right)$.

b) Cho dãy số xn=2+1n$x_n=2+\frac{1}{n}$. Rút gọn f(xn)$f\left(x_n\right)$ và tính giới hạn của dãy (un)$\left(u_n\right)$ với un=f(xn)$u_n=f\left(x_n\right)$.

c) Với dãy số (xn)$\left(x_n\right)$ bất kì sao cho xn≠2$x_n\ne 2$ và xn→2$x_n\to 2$, tính f(xn)$f\left(x_n\right)$ và tìm limn→+∞f(xn)$\underset{n\to +\infty }{lim}f\left(x_n\right)$.

Phương pháp giải:

Giả sử (a;b)$\left(a;b\right)$ là một khoảng chứa điểm x0$x_0$ và hàm số y=f(x)$y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng (a;b)$\left(a;b\right)$, có thể trừ điểm x0$x_0$. Ta nói hàm số f(x)$f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi x dần tới x0$x_0$ nếu với dãy số (x0)$\left(x_0\right)$ bất kì, x∈(a;b)$x\in (a;b)$, xn≠0$x_n\ne 0$, ta có f(xn)→L$f\left(x_n\right)\to L$, ký hiệu limx→x0f(x)=L$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$ hay  khi x→x0$x\to x_0$.

Lời giải chi tiết:

a) D=R/{2}$D=R/\left\{2\right\}$.

b) xn=2+1n=2n+1n.

f(xn)=4−(2n+14)22n+1n−2

=−(2n+1n−2)(2n+1n+2)2n+1n−2

=−2n+1n−2.

limn→+∞xn=limn→+∞(−2n+1n−2)=−4.

c) f(xn)=4−x2nxn−2.

limn→+∞f(xn)=−4.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 113 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tính limx→1  x−1√x−1.

Phương pháp giải:

Nếu f(x)≥0 với mọi x∈(a,b)∖{x0} và limx→x0f(x)=L thì L≥0 và limx→x0√f(x)=√L.

Lời giải chi tiết:

limn→1x−1√x−1=limn→1(√x+1)=2.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 113 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hàm số f(x)=|x−1|x−1.

a) Cho xn=1−1n+1 và x′n=1+1n. Tính yn=f(xn) và y′n=f(x′n).

b) Tìm giới hạn của các dãy số (yn) và (y′n).

c) Cho các dãy số (xn) và (x′n) bất kì sao cho xn<1<x′n và xn→1, x′n→1, tính limn→+∞f(xn) và limn→+∞f(x′n).

Phương pháp giải:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x→x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn x0<xn<b và xn→x0 ta có f(xn)→L, kí hiệu limx→x0f(x)=L.

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x→x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn a<xn<x0 và xn→x0, ta có f(xn)→L, kí hiệu limx→x0f(x)=L.

Lời giải chi tiết:

a) xn=1−1n+1=nn+1 và x′n=1+1n=n+1n.

Với xn=nn+1⇒yn=f(xn)=|nn+1−1|nn+1−1.

Do n<n+1⇒nn+1<1⇒nn+1−1<0

⇒yn=−(nn+1−1)nn+1−1=−1.

Với x′n=n+1n⇒y′n=f(xn)=|n+1n−1|n+1n−1.

Do n+1>n⇒n+1n>1⇒n+1n−1>0.

yn=n+1n−1n+1n−1=1.

b) lim(yn)=lim(−1)=−1.

lim(y′n)=lim1=1.

c) limn→+∞f(xn)=−1.

limn→+∞f(x′n)=1.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 113 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hàm số f(x)={−x,x<0√x,x≥0

Tính limx→0+f(x), limx→0−f(x) và limx→0f(x).

Phương pháp giải:

limx→x0f(x)=L khi và chỉ khi limx→x+0f(x)=limx→x−0f(x)=L.

Lời giải chi tiết:

Với dãy số (xn) bất kì sao cho x<0, ta có: f(xn)=−xn.

Do đó: limx→0−f(x)=0.

Với dãy số (xn) bất kì sao cho x≥0 ta có: f(xn)=√x.

Do đó: limx→0+f(x)=0.

Do limx→0+f(x)=limx→0−f(x)=0  suy ra limx→0f(x)=0.