Giải mục 1 trang 111, 112, 113
Cho hàm số (fleft( x right) = frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}) a) Tìm tập xác định của hàm số (fleft( x right)) b) Cho dãy số ({x_n} = frac{{2n + 1}}{n}). Rút gọn (fleft( {{x_n}} right)) và tính giới hạn của dãy (left( {{u_n}} right)) với ({u_n} = fleft( {{x_n}} right)) c) Với dãy số (left( {{x_n}} right
HĐ1
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 111 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Cho hàm số f(x)=4−x2x−2f(x)=4−x2x−2.
a) Tìm tập xác định của hàm số f(x)f(x).
b) Cho dãy số xn=2+1nxn=2+1n. Rút gọn f(xn)f(xn) và tính giới hạn của dãy (un)(un) với un=f(xn)un=f(xn).
c) Với dãy số (xn)(xn) bất kì sao cho xn≠2xn≠2 và xn→2xn→2, tính f(xn)f(xn) và tìm limn→+∞f(xn)limn→+∞f(xn).
Phương pháp giải:
Giả sử (a;b)(a;b) là một khoảng chứa điểm x0x0 và hàm số y=f(x)y=f(x) xác định trên khoảng (a;b)(a;b), có thể trừ điểm x0x0. Ta nói hàm số f(x)f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0x0 nếu với dãy số (x0)(x0) bất kì, x∈(a;b)x∈(a;b), xn≠0xn≠0, ta có f(xn)→Lf(xn)→L, ký hiệu limx→x0f(x)=Llimx→x0f(x)=L hay khi x→x0x→x0.
Lời giải chi tiết:
a) D=R/{2}D=R/{2}.
b) xn=2+1n=2n+1n.
f(xn)=4−(2n+14)22n+1n−2
=−(2n+1n−2)(2n+1n+2)2n+1n−2
=−2n+1n−2.
limn→+∞xn=limn→+∞(−2n+1n−2)=−4.
c) f(xn)=4−x2nxn−2.
limn→+∞f(xn)=−4.
LT1
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 113 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Tính limx→1 x−1√x−1.
Phương pháp giải:
Nếu f(x)≥0 với mọi x∈(a,b)∖{x0} và limx→x0f(x)=L thì L≥0 và limx→x0√f(x)=√L.
Lời giải chi tiết:
limn→1x−1√x−1=limn→1(√x+1)=2.
HĐ2
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 113 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Cho hàm số f(x)=|x−1|x−1.
a) Cho xn=1−1n+1 và x′n=1+1n. Tính yn=f(xn) và y′n=f(x′n).
b) Tìm giới hạn của các dãy số (yn) và (y′n).
c) Cho các dãy số (xn) và (x′n) bất kì sao cho xn<1<x′n và xn→1, x′n→1, tính limn→+∞f(xn) và limn→+∞f(x′n).
Phương pháp giải:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x→x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn x0<xn<b và xn→x0 ta có f(xn)→L, kí hiệu limx→x0f(x)=L.
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x→x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn a<xn<x0 và xn→x0, ta có f(xn)→L, kí hiệu limx→x0f(x)=L.
Lời giải chi tiết:
a) xn=1−1n+1=nn+1 và x′n=1+1n=n+1n.
Với xn=nn+1⇒yn=f(xn)=|nn+1−1|nn+1−1.
Do n<n+1⇒nn+1<1⇒nn+1−1<0
⇒yn=−(nn+1−1)nn+1−1=−1.
Với x′n=n+1n⇒y′n=f(xn)=|n+1n−1|n+1n−1.
Do n+1>n⇒n+1n>1⇒n+1n−1>0.
yn=n+1n−1n+1n−1=1.
b) lim(yn)=lim(−1)=−1.
lim(y′n)=lim1=1.
c) limn→+∞f(xn)=−1.
limn→+∞f(x′n)=1.
LT2
Video hướng dẫn giải
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 113 SGK Toán 11 Kết nối tri thức
Cho hàm số f(x)={−x,x<0√x,x≥0
Tính limx→0+f(x), limx→0−f(x) và limx→0f(x).
Phương pháp giải:
limx→x0f(x)=L khi và chỉ khi limx→x+0f(x)=limx→x−0f(x)=L.
Lời giải chi tiết:
Với dãy số (xn) bất kì sao cho x<0, ta có: f(xn)=−xn.
Do đó: limx→0−f(x)=0.
Với dãy số (xn) bất kì sao cho x≥0 ta có: f(xn)=√x.
Do đó: limx→0+f(x)=0.
Do limx→0+f(x)=limx→0−f(x)=0 suy ra limx→0f(x)=0.