Giải mục 1 trang 12, 13, 14

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 13 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng $y=x+1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=t$ $\left(1\le t\le 4\right)$ (H.4.4).

a) Tính diện tích S của T khi $t=4$.

b) Tính diện tích S(t) của T khi $t\in \left[1;4\right]$.

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(t\right)=t+1$, $t\in \left[1;4\right]$ và diện tích $S=S\left(4\right)-S\left(1\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về diện tích hình thang để tính: Diện tích hình thang ABCD (AB // CD) là: $S=\frac{\left(AB+CD\right).h}{2}$ với h là chiều cao của hình thang.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi A, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng $x=1$, $x=4$ với trục hoành; B, C lần lượt là giao điểm của các đường thẳng $x=1$, $x=4$ với đường thẳng $y=x+1$.

Khi đó, $A\left(1;0\right)$, $B\left(1;2\right)$, $C\left(4;5\right)$, $D\left(4;0\right)$. Do đó, $AB=2$, $CD=5$, $AD=3$.

Diện tích hình thang ABCD là: $S=\frac{\left(AB+CD\right).AD}{2}=\frac{\left(2+5\right).3}{2}=\frac{21}{2}$.

b) Gọi A, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng $x=1$, $x=t$ với trục hoành, B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng $x=1$, $x=t$ với đường thẳng $y=x+1$.

Khi đó, $A\left(1;0\right)$, $B\left(1;2\right)$, $C\left(t;t+1\right)$, $D\left(t;0\right)$. Do đó, $AB=2$, $CD=t+1$, $AD=t-1$.

Diện tích hình thang ABCD là:

$S\left(t\right)=\frac{\left(AB+CD\right).AD}{2}=\frac{\left(2+t+1\right).\left(t-1\right)}{2}=\frac{\left(t+3\right)\left(t-1\right)}{2}=\frac{t^2+2t-3}{2}$.

c) Ta có: $S^{\prime }\left(t\right)={\left(\frac{t^2+2t-3}{2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\left(2t+2\right)=t+1=f\left(t\right)$.

Do đó, S(t) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(t\right)=t+1,t\in \left[1;4\right]$.

Lại có: $S\left(4\right)-S\left(1\right)=\frac{4^2+2.4-3}{2}-\frac{1^2+2.1-3}{2}=\frac{21}{2}-0=\frac{21}{2}$.

Suy ra: $S=S\left(4\right)-S\left(1\right)$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 13 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y=x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1,x=2$. Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này.

a) Với mỗi $x\in \left[1;2\right]$, gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).

Cho $h>0$ sao cho $x+h<2$. So sánh hiệu $S\left(x+h\right)-S\left(x\right)$ với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra: $0\le \frac{S\left(x+h\right)-S\left(x\right)}{h}-x^2\le 2xh+h^2$.

b) Cho $h<0$ sao cho $x+h>1$. Tương tự phần a, đánh giá hiệu $S\left(x\right)-S\left(x+h\right)$ và từ đó suy ra $2xh+h^2\le \frac{S\left(x+h\right)-S\left(x\right)}{h}-x^2\le 0$.

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi $h\ne 0$, ta có

$\left|\frac{S\left(x+h\right)-S\left(x\right)}{h}-x^2\right|\le 2x\left|h\right|+h^2$.

Từ đó chứng minh $S^{\prime }\left(x\right)=x^2,x\in \left(1;2\right)$. Người ta chứng minh được $S^{\prime }\left(1\right)=1,S^{\prime }\left(2\right)=4$, tức là S(x) là một nguyên hàm của $x^2$ trên $\left[1;2\right]$.

d) Từ kết quả của phần c, ta có $S\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+C$. Sử dụng điều này với lưu ý $S\left(1\right)=0$ và diện tích cần tính $S=S\left(2\right)$, hãy tính S.

Gọi F(x) là một nguyên hàm tùy ý của $f\left(x\right)=x^2$ trên $\left[1;2\right]$. Hãy so sánh S và $F\left(2\right)-F\left(1\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về hình thang cong để tính: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f\left(x\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b\left(a<b\right)$, trong đó f(x) là hàm liên tục không âm trên đoạn [a; b] gọi là một hình thang cong.

Lời giải chi tiết:

a) Với $h>0$ sao cho $x+h<2$, gọi $S_{MNPQ}$ và $S_{MNEF}$ lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF thì $S_{MNPQ}\le S\left(x+h\right)-S\left(x\right)\le S_{MNEF}$.

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

$S_{MNPQ}=MN.MQ=\left(x+h-x\right)x^2=h{x}^2$.

Diện tích hình chữ nhật MNEF là:

$S_{MNEF}=MN.NE=\left(x+h-x\right){\left(x+h\right)}^2=h{\left(x+h\right)}^2$.

Do đó, $h{x}^2\le S\left(x+h\right)-S\left(x\right)\le h{\left(x+h\right)}^2$.

Vậy $0\le \frac{S\left(x+h\right)-S\left(x\right)}{h}-x^2\le 2xh+h^2$.

b)

Với $h<0$ sao cho $x+h>1$, gọi $S_{MNPQ}$ và $S_{MNEF}$ lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF thì $S_{MNPQ}\le S\left(x\right)-S\left(x+h\right)\le S_{MNEF}$.

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

$S_{MNPQ}=MN.MQ=-h{\left(x+h\right)}^2>0$.

Diện tích hình chữ nhật MNEF là: $S_{MNEF}=MN.NE=-h{x}^2$.

Do đó, $-h{\left(x+h\right)}^2\le S\left(x+h\right)-S\left(x\right)\le -h{x}^2$.

Vậy $2xh+h^2\le \frac{S\left(x+h\right)-S\left(x\right)}{h}-x^2\le 0$ (do $h<0$ nên $-h>0$).

c) Từ phần a và phần b, suy ra với mọi $h\ne 0$, ta có:

$\left|\frac{S\left(x+h\right)-S\left(x\right)}{h}-x^2\right|\le 2x\left|h\right|+h^2$.

Do đó, $S^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{S\left(x+h\right)-S\left(x\right)}{h}=x^2$, $x\in \left(1;2\right)$. Suy ra, $S^{\prime }\left(1\right)=1$, $S^{\prime }\left(2\right)=4$.

Do đó, S(x) là một nguyên hàm của $x^2$ trên $\left[1;2\right]$.

d) Theo c ta có: $S\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+C$;

$S\left(1\right)=0$  nên $\frac{1}{3}+C=0\iff C=\frac{-1}{3}$.

Do đó, $S\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}$.

Diện tích cần tính là:

$S=S\left(2\right)=\frac{2^3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$.

Vì F(x) là một nguyên hàm tùy ý của $f\left(x\right)=x^2$ trên $\left[1;2\right]$ nên $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+C$, $C\in R$.

Ta có: $F\left(2\right)-F\left(1\right)=\frac{7}{3}-0=\frac{7}{3}=S$. Do đó, $S=F\left(2\right)-F\left(1\right)$.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 14 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$, F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn $\left[a;b\right]$. Chứng minh rằng $F\left(b\right)-F\left(a\right)=G\left(b\right)-G\left(a\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$, C là hằng số.

Lời giải chi tiết:

Vì F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn $\left[a;b\right]$ nên tồn tại hằng số C sao cho $F\left(x\right)=G\left(x\right)+C$.

Do đó, $F\left(b\right)-F\left(a\right)=G\left(b\right)+C-G\left(a\right)-C=G\left(b\right)-G\left(a\right)$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 15 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$;

b) $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx$;

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin xdx$;

d) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx=e^x|\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}=e^1-e^0=e-1$;

b) $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right||\begin{array}{c}e\\ 1\end{array}=\ln e-\ln 1=1$;

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin xdx=-\cos x|\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\\ 0\end{array}=-\cos \frac{\pi }{2}+\cos 0=1$;

d) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\tan x|\begin{array}{c}\frac{\pi }{3}\\ \frac{\pi }{6}\end{array}$

$=-\cot \frac{\pi }{3}+\cot \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(2x+1\right)dx$;

b) $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\sqrt{4-x^2}dx$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của tích phân để tính: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y=f\left(x\right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$. Vậy $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết:

a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông ABCD, có đáy nhỏ $AB=3,$ đáy lớn $CD=7$ và đường cao $AD=2$.

Do đó, $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(2x+1\right)dx=S_{ABCD}$

$=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right)AD=\frac{1}{2}\left(3+7\right).2=10$.

b) Ta có $y=\sqrt{4-x^2}$ là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 2. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Vậy $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\sqrt{4-x^2}dx=2\pi$.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 16 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Sử dụng kiến thức về quan hệ giữa hàm số vận tốc và hàm số quãng đường để tính: Hàm số quãng đường S(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t).

Lời giải chi tiết:

Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được phanh. Gọi T là thời điểm ô tô dừng.

Xe dừng hẳn khi $v\left(T\right)=0.$ Do đó, $0=-40T+20$ nên $T=\frac{1}{2}$. Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn của ô tô là 0,5 giây.

Vì $v\left(t\right)=S^{\prime }\left(t\right)$ nên S(t) là một nguyên hàm của hàm vận tốc v(t).

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được số mét là:

Do đó, $S\left(t\right)=\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\left(-40t+20\right)dt$

$\left(-20t^2+20t\right)|\begin{array}{c}{}^{\frac{1}{2}}\\ {}_0\end{array}=-20.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+20.\frac{1}{2}=5$ (m).

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được 5 m.