Giải mục 1 trang 15, 16, 17

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 15 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^2-2x$ với $x\in \left[0;3\right]$, có đồ thị như Hình 1.15.

a) Giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn $\left[0;3\right]$ là bao nhiêu? Tìm $x_0$ sao cho $f\left(x_0\right)=M$.

b) Giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn $\left[0;3\right]$ là bao nhiêu? Tìm $x_0$ sao cho $f\left(x_0\right)=m$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về đọc hiểu đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Giá trị lớn nhất của đồ thị hàm số trên đoạn $\left[0;3\right]$ là $M=3$.

Với $x_0=3$ thì $f\left(3\right)=3$.

b) Giá trị nhỏ nhất của đồ thị hàm số trên đoạn $\left[0;3\right]$ là $m=-1$.

Với $x_0=1$ thì $f\left(1\right)=-1$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{2x-x^2}$;

b) $y=-x+\frac{1}{x-1}$ trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$.

Phương pháp giải:

Cho hàm số y = f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo f’(x). Tìm các giá trị $x_1,x_2,...,x_n\in [a;b]$ sao cho f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại.

Bước 3: Tính $f\left(a\right),f\left(x_1\right),f\left(x_2\right),...,f\left(x_n\right),f\left(b\right)$. Giá trị lớn nhất trong các giá trị vừa tìm là $\underset{[a;b]}{max}f\left(x\right)$, giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tìm là $\underset{[a;b]}{min}f\left(x\right)$.

Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN, GTNN trên khoảng chứa $\pm \infty$, ta cầm tìm $\underset{x\to \pm \infty }{lim}f\left(x\right)$ và so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là $\left[0;2\right]$.

Với $x\in \left[0;2\right]$ ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(2x-x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{2x-x^2}}=\frac{-x+1}{\sqrt{2x-x^2}}$;

$y^{\prime }=0\iff \frac{-x+1}{\sqrt{2x-x^2}}=0\iff x=1$ (TM).

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn $\left[0;2\right]$:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

$\underset{\left[0;2\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(0\right)=f\left(2\right)=0$;

$\underset{\left[0;2\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(1\right)=1$.

b) Với $x\in \left(1;+\infty \right)$ ta có:

$y^{\prime }=-1+\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}<0$, $\forall x\in \left(1;+\infty \right)$.

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(-x+\frac{1}{x-1}\right)=+\infty$;

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(-x+\frac{1}{x-1}\right)=-\infty$.

Lập bảng biến thiên của hàm số trên $\left(1;+\infty \right)$:

Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên $\left(1;+\infty \right)$.