Giải mục 1 trang 16, 17

Hoạt động 1

Cho hai góc a và b, với $0<b<a<\pi$. Trên đường tròn lượng giác, xét các điểm $P\left(\cos a;\sin a\right)$ và $Q\left(\cos b;\sin b\right)$.

a) Dùng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, giải thích vì sao: $P{Q}^2=2-2\cos \cos b-2\sin a\sin b$.

b) Dùng định lý côsin, giải thích vì sao: $P{Q}^2=2-2\cos \left(a-b\right)$.

c) Từ đó suy ra $\cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

Phương pháp giải:

a) $P\left(a;b\right),Q\left(c;d\right)$

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm: $PQ=\sqrt{{\left(c-a\right)}^2+{\left(d-b\right)}^2}$

b) Tam giác ABC

Định lý Côsin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB.AC}$

Lời giải chi tiết:

a)

 $\begin{array}{c}P{Q}^2={\left(\cos b-\cos a\right)}^2+{\left(\sin b-\sin a\right)}^2\\ ={\cos }^{2}b-2\cos b\cos a+{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}b-2\sin b\sin a+{\sin }^{2}a\\ =\left({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a\right)+\left({\sin }^{2}b+{\cos }^{2}b\right)-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b\\ =2-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b\end{array}$

b)

$\begin{array}{c}\cos \left(a-b\right)=\frac{O{P}^2+O{Q}^2-P{Q}^2}{2OP.OQ}\\ =\frac{1^2+1^2-\left(2-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b\right)}{2}\\ =\frac{2-2+2\cos a\cos b+2\sin a\sin b}{2}\\ =\cos a\cos b+\sin a\sin b\end{array}$

$\Rightarrow P{Q}^2=2-2\cos \left(a-b\right)$.

c) Từ phần b suy ra $\cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

Luyện tập 1

Tính giá trị chính xác của:

a) $\sin \frac{\pi }{12}$;

b) $\frac{\tan {64}^0-\tan {19}^0}{1+\tan {64}^0\tan {19}^0}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng.

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{c}\sin \frac{\pi }{12}=\sin \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}\\ =\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{array}$

b) $\frac{\tan {64}^0-\tan {19}^0}{1+\tan {64}^0\tan {19}^0}=\tan \left({64}^0-{19}^0\right)=\tan {45}^0=1$

Vận dụng 1

Một dòng điện xoay chiều có cường độ dòng điện i (ampe) tại thời điểm t (giây) được tính bởi công thức: $i=4\cos \left(\frac{131\pi }{12}t\right)$

Tính giá trị chính xác của cường độ dòng điện i tại thời điểm t = 1 (giây).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng.

Lời giải chi tiết:

Cường độ dòng điện i tại thời điểm t = 1 (giây)

$\begin{array}{c}i\left(1\right)=4\cos \left(\frac{131\pi }{12}.1\right)=4\cos \left(\frac{131\pi }{12}\right)=4\cos \left(11\pi -\frac{\pi }{12}\right)\\ =4\cos \left(\pi -\frac{\pi }{12}\right)=4\left(\cos \pi \cos \frac{\pi }{12}+\sin \pi \sin \frac{\pi }{12}\right)\\ =4\left(-1.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}-0\right)=\sqrt{2}-\sqrt{6}\end{array}$