Giải mục 1 trang 16, 17 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 16 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Xét phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ . Giả sử phương trình có nghiệm x₁, x₂, so sánh S = x₁ + x₂ và $- \frac{b}{a}$ , $P = x_{1} x_{2}$ và $\frac{c}{a}$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào: Cho phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Nếu $Δ$ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

Lời giải chi tiết:

Ta có S = x₁ + x₂ = $\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = - \frac{b}{a}$

$P = x_{1} x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} . \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{c}{a}$ .

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 16 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Không giải phương trình, chứng minh phương trình $x^{2} + 3 x - 6 = 0$ có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ và tính M = x₁ + x₂ - x₁x₂ .

Phương pháp giải:

Dựa vào: Nếu $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ thì:

${\begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}$

Lời giải chi tiết:

Phương trình $x^{2} + 3 x - 6 = 0$ có a = 1; b = 3, c = -6.

$Δ = 3^{2} - 4.1. (- 6) = 33 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ .

Theo định lí Viète, ta có $S = x_{1} + x_{2} = - 3, P = x_{1} x_{2} = 3$ .

Suy ra M = x₁ + x₂ - x₁x₂ = - 3 – 3 = - 6.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 17 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Cho phương trình $x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 3 = 0$

a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ .

b) Tính $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}; {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} .$

Phương pháp giải:

Dựa vào: Nếu $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ thì:

${\begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}$

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình $x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 3 = 0$ có a = 1; b = $- 2 \sqrt{5}$ , c = 3.

$Δ = (- 2 \sqrt{5})^{2} - 4.1.3 = 8 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ .

b) Theo định lí Viète, ta có $S = x_{1} + x_{2} = 2 \sqrt{5}, P = x_{1} x_{2} = 3$ .

Suy ra $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ .

Ta có ${(x_{1} + x_{2})}^{2} = {x_{1}}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + {x_{2}}^{2}$

Suy ra ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = (2 \sqrt{5})^{2} - 2.3 = 14.$

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 17 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Cho phương trình $3 x^{2} - 7 x + 4 = 0$

a) Xác định hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.

b) Chứng minh $x_{1} = 1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Áp dụng định lí Viète để tìm nghiệm x₂.

2. Cho phương trình $2 x^{2} + 5 x + 3 = 0$

a) Xác định hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.

b) Chứng minh $x_{1} = - 1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Tìm nghiệm x₂.

Phương pháp giải:

Xác định a, b, c sau đó thay x = 1 vào phương trình kiểm tra xem thỏa mãn không.

Dựa vào: Nếu $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ thì:

${\begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix}$

Lời giải chi tiết:

1a) Phương trình có a = 3, b = - 7, c = 4

Suy ra a + b + c = 3 – 7 + 4 = 0.

1b) Thay x = 1 vào phương trình $3 x^{2} - 7 x + 4 = 0$ ta được:

3. 1² – 7.1 + 4 = 0 (TM)

Vậy $x_{1} = 1$ là một nghiệm của phương trình.

1c) Theo định lí Viète ta có $S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = \frac{7}{3}$ .

Mà $x_{1} = 1$ suy ra $x_{2} = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}$ .

2a) Phương trình có a = 2, b = 5, c = 3

Suy ra a - b + c = 2 – 5 + 3 = 0.

2b) Thay x = -1 vào phương trình $2 x^{2} + 5 x + 3 = 0$ ta được:

2. (-1)² + 5.(-1) + 3 = 0 (TM)

Vậy $x_{1} = - 1$ là một nghiệm của phương trình.

2c) Theo định lí Viète ta có $S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{5}{2}$ .

Mà $x_{1} = - 1$ suy ra $x_{2} = - \frac{5}{2} - 1 = - \frac{7}{2}$ .

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $- 5 x^{2} + 2 x + 3 = 0$

b) $4 x^{2} + 27 x + 23 = 0$

c) $6, 8 t^{2} - 4, 7 x - 2, 1 = 0$

Phương pháp giải:

Dựa vào: Cho phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ .

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm $x_{1} = 1$ và $x_{2} = \frac{c}{a}$ .

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm $x_{1} = - 1$ và $x_{2} = - \frac{c}{a}$ .

Lời giải chi tiết:

a) $- 5 x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Phương trình có a = - 5, b = 2, c = 3.

Vì a + b + c = - 5 + 2 + 3 = 0 nên phương trình có nghiệm $x_{1} = 1$ và $x_{2} = - \frac{3}{5}$ .

b) $4 x^{2} + 27 x + 23 = 0$

Phương trình có a = 4, b = 27, c = 23.

Vì a - b + c = 4 - 27 + 23 = 0 nên phương trình có nghiệm $x_{1} = - 1$ và $x_{2} = - \frac{23}{4}$ .

c) $6, 8 t^{2} - 4, 7 x - 2, 1 = 0$

Phương trình có a = - 5, b = 2, c = 3.

Vì a + b + c = 6,8 – 4,7 – 2,1 = 0 nên phương trình có nghiệm $x_{1} = 1$ và $x_{2} = \frac{2, 1}{6, 8} = \frac{21}{68}$ .