Giải mục 1 trang 17, 18

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 17 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

a) Cho $a=\frac{\pi }{3}$ và $b=\frac{\pi }{6}$, hãy chứng tỏ $\cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

b) Bằng cách viết $a+b=a-\left(-b\right)$ và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính $\cos \left(a+b\right)$.

c) Bằng cách viết $\sin \left(a-b\right)=\cos \left[\frac{\pi }{2}-\left(a-b\right)\right]=\cos \left[\left(\frac{\pi }{2}-a\right)+b\right]$và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính $\sin \left(a-b\right)$.

Phương pháp giải:

Tính giá trị các góc lượng giác đặc biệt.

Sử dụng công thức hai góc phụ nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $VT=\cos \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$VP=\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{6}$

$=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}=VT$.

Vậy $\cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

b) Ta có: $\cos \left(a+b\right)=\cos (a-b)$

$=\cos a\cos \left(-b\right)+\sin a\sin \left(-b\right)$

$=\cos a\cos b-\sin a\sin b$.

c) Ta có: $\sin \left(a-b\right)$

$=\cos \left[\frac{\pi }{2}-\left(a-b\right)\right]$

$=\cos \left[\left(\frac{\pi }{2}-a\right)+b\right]$

$=\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\cos b+\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\sin b$.

$=\left(\cos \frac{\pi }{2}\cos a+\sin \frac{\pi }{2}\sin a\right)\cos b+\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\sin b$

$=\sin a\cos b+\cos a\sin b$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 18 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Chứng minh rằng:

a) $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$;

b) $\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$

$\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,x\ne \frac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in Z\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng lượng giác. Xác định giá trị lượng giác đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$

$=\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)$

$=\sqrt{2}\left(\sin x.\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$=\sin x-\cos x$.

b) Ta có: $\tan \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

$=\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\tan x}{1+\tan \frac{\pi }{4}\tan x}=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 18 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f\left(t\right)$

$=f_1\left(t\right)+f_2\left(t\right)$

$=5\sin t+5\cos t$

$=5\left(\sin t+\cos t\right)$

$=5\sqrt{2}\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)$.

Suy ra: $k=5\sqrt{2},\phi =\frac{\pi }{4}$.