Giải mục 1 trang 17, 19, 20

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 17 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^2$. Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả điểm M(x; y) trên mặt phẳng tọa độ sao cho $1\le x\le 2$ và $0\le y\le x^2$ (Hình 4). Hình phẳng đó được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f\left(x\right)=x^2$, trục Ox và hai đường thẳng x = 1 và x = 2.

Chia đoạn [1; 2] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia: $x_0=1,x_1=1+\frac{1}{n},x_2=1+\frac{2}{n},...,x_{n-1}=1+\frac{n-1}{n},x_n=1+\frac{n}{n}=2$ (Hình 5).

a) Tính diện tích $T_0$ của hình chữ nhật dựng trên đoạn $[x_0;x_1]$ với chiều cao là $f\left(x_0\right)$.

Tính diện tích $T_1$ của hình chữ nhật dựng trên đoạn $[x_1;x_2]$ với chiều cao là $f\left(x_1\right)$.

Tính diện tích $T_2$ của hình chữ nhật dựng trên đoạn $[x_2;x_3]$ với chiều cao là $f\left(x_2\right)$.

…

Tính diện tích $T_{n-1}$ của hình chữ nhật dựng trên đoạn $[x_{n-1};x_n]$ với chiều cao là $f\left(x_{n-1}\right)$.

b) Đặt $S_n=T_0+T_1+T_2+...+T_{n-1}$. Chứng minh rằng: $S_n=\frac{1}{n}\left[f\right(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_{n-1}\left)\right]$. Tổng $S_n$ gọi là tổng tích phân cấp n của hàm số $f\left(x\right)=x^2$ trên đoạn [1;2].

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật.

b) Biến đổi biểu thức cho thích hợp.

Lời giải chi tiết:

a) $T_0=f\left(x_0\right).(x_1-x_0)=f\left(1\right).(x_1-1)$;

$T_1=f\left(x_1\right).(x_2-x_1)$;

$T_2=f\left(x_2\right).(x_3-x_2)$;

…

$T_{n-1}=f\left(x_{n-1}\right).(x_n-x_{n-1})$;

b) $T_0=f\left(x_0\right).(x_1-x_0)=f\left(x_0\right).(x_0+\frac{1}{n}-x_0)=\frac{f\left(x_0\right)}{n}$;

$T_1=f\left(x_1\right).(x_2-x_1)=f\left(x_1\right).(x_1+\frac{1}{n}-x_1)=\frac{f\left(x_1\right)}{n}$;

$T_2=f\left(x_2\right).(x_3-x_2)=f\left(x_2\right).(x_2+\frac{1}{n}-x_2)=\frac{f\left(x_2\right)}{n}$;

…

$T_{n-1}=f\left(x_{n-1}\right).(x_n-x_{n-1})$

$=f\left(x_{n-1}\right).(x_{n-1}+\frac{1}{n}-x_{n-1})=\frac{f\left(x_{n-1}\right)}{n}$.

Vậy $S_n=T_0+T_1+T_2+...+T_{n-1}$

$=\frac{1}{n}\left[f\right(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_{n-1}\left)\right]$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 19 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho đồ thị hàm số y = f(x) = 2x ($x\in [0;2]$). Xét tam giác vuông OAB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) = 2x, trục Ox và đường thẳng x = 2.

a) Tính diện tích tam giác vuông OAB.

b) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2x trên đoạn [0; 2]. Tính F(2) – F(0). Từ đó hãy chứng tỏ rằng $S_{OAB}=F\left(2\right)-F\left(0\right)$.

Phương pháp giải:

a) Tìm tọa độ các điểm A, B. Từ đó tính diện tích tam giác OAB.

b) Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có f(2) = 2.2 = 4. Do đó giao điểm của đồ thị f(x) = 2x và đường thẳng x = 2 có tọa độ (2;4).

Đường thẳng x = 2 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Giả sử A(2;4) và B(2;0).

Ta có $S_{OAB}=\frac{1}{2}OB.AB=\frac{1}{2}2.4=4$.

b) Ta có $F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int 2xdx=x^2+C$.

Xét $F\left(2\right)-F\left(0\right)=2^2+C-(0^2+C)=4$.

Vậy $F\left(2\right)-F\left(0\right)=S_{OAB}$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 20 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2$.

a) Chứng tỏ $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}$, $G\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+C$ là các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2$.

b) Chứng minh rằng $F\left(b\right)-F\left(a\right)=G\left(b\right)-G\left(a\right)$, tức là hiệu số $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm.

Phương pháp giải:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Lời giải chi tiết:

a) $F^{\prime }\left(x\right)=G^{\prime }\left(x\right)=x^2=f\left(x\right)$ nên $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}$, $G\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+C$ là các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2$.

b) $F\left(b\right)-F\left(a\right)=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}$.

$G\left(b\right)-G\left(a\right)=\frac{b^3}{3}+C-\frac{a^3}{3}-C=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}$.

$\Rightarrow F\left(b\right)-F\left(a\right)=G\left(b\right)-G\left(a\right)$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 20 SGK Toán 12 Cánh diều

Tính $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos udu$.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa tích phân.

Lời giải chi tiết:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos udu=\sin u|\begin{array}{c}{}^{\pi }\\ {}_0\end{array}=\sin \pi -\sin 0=0$.