Giải mục 1 trang 19, 20, 21, 22

HĐ1

Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:

$A=0,5x^2$;

$B=1-x^2$;  

$C=x^2+x+1$;     

$D=(1-x)(2x+1)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$A=0,5x^2$;

$B=1-x^2$;

$C=x^2+x+1$;

$D=(1-x)(2x+1)$

$=2x+1-2x^2-x$

$=-2x^2+x+1$.

Các biểu thức đều có dạng $a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ với a, b, c là các số thực.

LT1

Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai.

$A=3x+2\sqrt{x}+1$;

$B=-5x^4-3x^2+4$;

$C=-\frac{2}{3}{x}^2+7x-4$;

$D={\left(\frac{1}{x}\right)}^2+2.\frac{1}{x}+3$.

Phương pháp giải:

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $a{x}^2+bx+c$, trong đó a, b, c là những số cho trước $\left(a\ne 0\right)$.

Lời giải chi tiết:

Biểu thức $C=-\frac{2}{3}{x}^2+7x-4$ là tam thức bậc hai.

Biểu thức A không là tam thức bậc hai vì chứa $\sqrt{x}$.

Biểu thức B không là tam thức bậc hai vì chứa $x^4$.

Biểu thức D không là tam thức bậc hai vì chứa ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2$.

HĐ2

Cho hàm số bậc hai $y=f\left(x\right)=x^2-4x+3$.

a) Xác định hệ số a. Tính $f\left(0\right)$, $f\left(1\right)$, $f\left(2\right)$, $f\left(3\right)$, $f\left(4\right)$ và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số $a$.

b) Cho đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ (H.6.17). Xét từng khoảng $\left(-\infty ;1\right)$, $\left(1;3\right)$, $\left(3;+\infty \right)$, đồ thị nằm phía trên hay phía dưới trục Ox?

c) Nhận xét về dấu của $f\left(x\right)$ và dấu của hệ số $a$ trên từng khoảng đó.

Lời giải chi tiết:

a) Hệ số a là: a = 1.

$f\left(0\right)=0^2-4.0+3=3$;

$f\left(1\right)=1^2-4.1+3=0$;

$f\left(2\right)=2^2-4.2+3=-1$;

$f\left(3\right)=3^2-4.3+3=0$;

$f\left(4\right)=4^2-4.4+3=3$.

Ta thấy f(0); f(4) cùng dấu với hệ số a; f(2) khác dấu với hệ số a.

b) Nhìn vào đồ thị ta thấy:

- Trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ đồ thị nằm phía trên trục hoành.

- Trên khoảng $\left(1;3\right)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

- Trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$, đồ thị nằm phía trên trục hoành.

c)

- Trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ đồ thị nằm phía trên trục hoành $\Rightarrow f\left(x\right)>0$, cùng dầu với hệ số a.

- Trên khoảng $\left(1;3\right)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành $\Rightarrow f\left(x\right)<0$, khác dấu với hệ số a.

- Trên khoảng $\left(3;+\infty \right)$, đồ thị nằm phía trên trục hoành $\Rightarrow f\left(x\right)>0$, cùng dấu với hệ số a.

HĐ3

Cho đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)=-2x^3+x+3$ như Hình 6.18.

a) Xét trên từng khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$, $\left(-1;\frac{3}{2}\right)$, $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$, đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox.

b) Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có: hệ số a = -2 < 0.

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy:

- Trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

- Trên khoảng $\left(-1;\frac{3}{2}\right)$, đồ thị nằm phía trên trục hoành.

- Trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

c) - Trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ đồ thị nằm phía dưới trục hoành $\Rightarrow f\left(x\right)<0$, cùng dầu với hệ số a.

- Trên khoảng $\left(-1;\frac{3}{2}\right)$, đồ thị nằm phía trên trục hoành $\Rightarrow f\left(x\right)>0$, khác dấu với hệ số a.

- Trên khoảng $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$, đồ thị nằm phía dưới trục hoành $\Rightarrow f\left(x\right)<0$, cùng dấu với hệ số a.

HĐ4

Nêu nội dung thay vào các ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp

Trường hợp a > 0:

Trường hợp a < 0:

Lời giải chi tiết:

LT2

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $-3x^2+x-\sqrt{2}$;

b) $x^2+8x+16$;

c) $-2x^2+7x-3$.

Phương pháp giải:

Xét dấu tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$:

Bước 1: Tính $\Delta =b^2-4ac$.

Bước 2:

- Nếu $\Delta <0$ thì $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với a với mọi $x\in R$.

- Nếu $\Delta =0$ thì $f\left(x\right)$ có nghiệm kép là $x_0$ . Vậy $f\left(x\right)$ cùng dấu với a với $x\ne x_0$.

- Nếu $\Delta >0$ thì $f\left(x\right)$ có 2 nghiệm là $x_1;x_2$ $(x_1<x_2)$. Ta lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết:

a) $f\left(x\right)=-3x^2+x-\sqrt{2}$có $\Delta =1-12\sqrt{2}<0$ và $a=-3$.

b) $g\left(x\right)=x^2+8x+16$ có $\Delta =0$ và $a=1>0$ nên $g\left(x\right)$ có nghiệm kép $x=-4$ và $g\left(x\right)>0$ với mọi $x\ne -4$.

c) $h\left(x\right)=-2x^2+7x-3$ có $\Delta =25>0$ và $a=-2$.

Do đó ta có bảng xét dấu $h\left(x\right)$:

Suy ra $h\left(x\right)>0$ với mọi $x\in \left(\frac{1}{2};3\right)$.