Giải mục 1 trang 19, 20, 21

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 19 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y=f\left(x\right)=x+1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-2,x=1$ (H.4.12).

a) Tính diện tích S của hình phẳng này.

b) Tính $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ và so sánh với S.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ $\left(a<c<b\right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Đặt tên các điểm như hình vẽ. Khi đó, $AD=1$, $DE=1$, $AC=2$, $CB=2$.

Diện tích S của hình phẳng là:

$S=S_{\Delta EAD}+S_{\Delta ABC}$

$=\frac{1}{2}AD.DE+\frac{1}{2}AC.BC$

$=\frac{1}{2}.1.1+\frac{1}{2}.2.2$

$=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$.

b) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|x+1\right|dx$

$=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left|x+1\right|dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|x+1\right|dx$

$=-\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left(x+1\right)dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x+1\right)dx$

$=-\left(\frac{x^2}{2}+x\right)|\begin{array}{c}-1\\ -2\end{array}+\left(\frac{x^2}{2}+x\right)|\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}$

$=\left(\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}+1\right)-\left(\frac{1^2}{2}-1-\frac{{\left(-2\right)}^2}{2}+2\right)$

$=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2-4$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$ (H.4.15).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ $\left(a<b\right)$, được tính bằng công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-4\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4\right|dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-4\right|dx$

$=-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-4\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-4\right)dx$

$=-\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)|\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}+\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)|\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}$

$=-\left(\frac{2^3}{3}-4.2\right)+\left(\frac{3^3}{3}-4.3-\frac{2^3}{3}+4.2\right)$

$=\frac{16}{3}+\frac{7}{3}=\frac{23}{3}$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 20 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $f\left(x\right)=-x^2+4x$, $g\left(x\right)=x$ và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16).

a) Giả sử $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=-x^2+4x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y=x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$. Tính $S_1$, $S_2$ và từ đó suy ra S.

b) Tính $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$ và so sánh với S.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng để tính: Diện tích S của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ $\left(a<b\right)$, được tính bằng công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

Lời giải chi tiết:

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=-x^2+4x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$ là:

$S_1=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|-x^2+4x\right|dx$

$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(-x^2+4x\right)dx$

$=\left(\frac{-x^3}{3}+2x^2\right)|\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}$

$=\frac{-3^3}{3}+{2.3}^2+\frac{1}{3}-{2.1}^2=\frac{22}{3}$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$ là:

$S_2=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|x\right|dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}xdx$

$=\frac{x^2}{2}|\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}=\frac{3^2}{2}-\frac{1}{2}=4$.

Do đó, $S=S_1-S_2=\frac{22}{3}-4=\frac{10}{3}$.

b) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$

$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|-x^2+3x\right|dx$

$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(-x^2+3x\right)dx$

$=\left(\frac{-x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right)|\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}$

$=\frac{-3^3}{3}+\frac{{3.3}^2}{2}+\frac{1}{3}-\frac{3}{2}=\frac{10}{3}$.

Do đó, $S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 21 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=\sqrt{x}$, $y=x-2$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=4$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng $x=a,x=b$ để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$, được tính bằng công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|x-\sqrt{x}-2\right|dx$

$=-\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(x-\sqrt{x}-2\right)dx$

$=-\left(\frac{x^2}{2}-\frac{2x\sqrt{x}}{3}-2x\right)|\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}$

$=-\left(\frac{4^2}{2}-\frac{2.4\sqrt{4}}{3}-2.4-\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{2.1.}\sqrt{1}}{3}+2.1\right)$

$=\frac{19}{6}$.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 22 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau $\left(x_o;p_o\right)$ của đồ thị hàm cầu $p=D\left(x\right)$ và đồ thị hàm cung $p=S\left(x\right)$ được gọi là điểm cân bằng.

Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang $p=p_o$ và đường thẳng đứng $x=0$ là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang $p=p_o$ và đường thẳng đứng $x=0$ được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.

(Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:

Hàm cầu: $p=-0,36x+9$ và hàm cung: $p=0,14x+2$, trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và đường thẳng $x=a,x=b$ để tính: Diện tích S của hình phẳng giới hạn đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$, được tính bằng công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm M là giao điểm của hàm cầu $p=-0,36x+9$ và hàm cung $p=0,14x+2$

Khi đó, phương trình hoành độ giao điểm của hàm cầu và hàm cung là:

$-0,36x+9=0,14x+2$, suy ra $x=14$ nên $p=-0,36.14+9=\frac{99}{25}$. Do đó, $M\left(14;\frac{99}{25}\right)$.

Đồ thị hàm số $p=-0,36x+9$ đi qua điểm $M\left(14;\frac{99}{25}\right)$ và điểm N(0; 9).

Đồ thị hàm số $p=0,14x+2$ đi qua điểm $M\left(14;\frac{99}{25}\right)$ và điểm P(0; 2).

Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số $p=-0,36x+9$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=14$ là: $S_1=\underset{0}{\overset{14}{\int }}\left|-0,36x+9\right|dx=\underset{0}{\overset{14}{\int }}\left(-0,36x+9\right)dx=\left(-0,18x^2+9x\right)|\begin{array}{c}14\\ 0\end{array}$

$=-0,{18.14}^2+9.14=90,72$.

Diện tích hình giới hạn bởi đồ thị hàm số $p=0,14x+2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=14$ là:

$S_2=\underset{0}{\overset{14}{\int }}\left|0,14x+2\right|dx=\underset{0}{\overset{14}{\int }}\left(0,14x+2\right)dx=\left(0,07x^2+2x\right)|\begin{array}{c}14\\ 0\end{array}$$=0,{07.14}^2+2.14=41,72$.

Thặng dư tiêu dùng cho sản phẩm này là:

$S_1-OQ.QM=90,72-14.\frac{99}{25}=35,28$.

Thặng dư sản xuất cho sản phẩm này là:

$OQ.QM-S_2=14.\frac{99}{25}-41,72=13,72$.