Giải mục 1 trang 2,3,4

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 2 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Hình 1.2 là đồ thị (C) của hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{-1}{2}{x}^2+3$

a) Quan sát đồ thị hàm số (C) và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.

b) Xác định dấu của đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ khi $x$thuộc các khoảng  đồng biến, nghịch biến ở câu.

c) Ghi lại và hoàn thành bảng biến thiên sau

Phương pháp giải:

a)  Sử dụng khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)

Hàm số $y=f\left(x\right)$gọi là đồng biến trên khoảng $(a;b)$ nếu với mọi $x_1,x_2\in (a;b)$ mà $x_1<x_2$ thì ta có $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Hàm số $y=f\left(x\right)$  gọi là nghịch biến trên  khoảng $(a;b)$ nếu với mọi $x_1,x_2\in (a;b)$ mà $x_1>x_2$ thì ta có $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

b) Chọn vài giá trị của x nằm trong khoảng đồng biến , nghịch biến  ở câu a rồi thay vào $f^{\prime }\left(x\right)$xem $f^{\prime }\left(x\right)$ có giá trị âm hay dương.

c) Áp dụng kết quả câu a và câu b rồi điền vào

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên R

Nhìn hình 1.2 ta thấy:

Hàm số $f\left(x\right)=\frac{-1}{2}{x}^2+3$ đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$

Hàm số $f\left(x\right)=\frac{-1}{2}{x}^2+3$ nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$

b) Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=-x$

Ta thấy:  Với $x>0$thì $f^{\prime }\left(x\right)<0$

Với $x<0$ thì $f^{\prime }\left(x\right)>0$

c)

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 4 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Lập bảng biến thiên và kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

a) $y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+3}$

b) $y=f\left(x\right)=\cos x$ trên khoảng $(0;2\pi )$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét $f^{\prime }\left(x\right)=0$qua đó tìm x

Bước 2: Xét dấu $f^{\prime }\left(x\right)$

Bước 3: lập bảng biến thiên

Lời giải chi tiết:

a) $y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+3}$

Hàm số trên xác định trên R\ {-3}

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2(x+3)-(2x-1)}{{(x+3)}^2}$

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{7}{{(x+3)}^2}$

Vì $f^{\prime }\left(x\right)>0$với $\forall x\ne -3$ từ đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có,

Hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+3}$ đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-3)$và $(-3;+\infty )$

b) $y=f\left(x\right)=\cos x$ trên khoảng $(0;2\pi )$

Hàm số trên xác định trên R

Ta có $y=f^{\prime }\left(x\right)=-\sin x$

Xét $f^{\prime }\left(x\right)=-\sin x=0$  $\Rightarrow x=k\pi$

Mà $x\in (0;2\pi )$ $\Rightarrow x=\pi$

Khi đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số $f\left(x\right)=\cos x$ đồng biến trên khoảng$(\pi ;2\pi )$

Hàm số $f\left(x\right)=\cos x$ nghịch biến trên khoảng$(0;\pi )$

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 4 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+1$

a) Bằng định nghĩa, hãy cho biết hàm $f\left(x\right)$có đồng biến trên $R$ hay không

b) Hãy nhận xét về dấu của đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ trên $R$

Phương pháp giải:

a) Gọi $x_1$, $x_2$  sao cho $x_1,x_2\in R$ và$x_1>x_2$

Xét dấu của $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$

b) Tính  $f^{\prime }\left(x\right)$ qua đó xét dấu của $f^{\prime }\left(x\right)$

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $x_1$, $x_2$  sao cho $x_1,x_2\in R$và $x_1>x_2$

Ta có: $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$= $(x_1+1)-(x_2+1)$= $x_1-x_2$

Mà $x_1>x_2$ $\Rightarrow x_1-x_2>0$

Nên $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$ $\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Suy ra hàm số $y=f\left(x\right)=x^3+1$ đồng biến trên $R$

b) Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$

Vì $3x^2>0$ với $\forall x\in R$

Nên $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với $\forall x\in R$

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Xét tính đơn điệu của hàm số $y=\sin x-x$trên khoảng $(-\pi ;\pi )$

Phương pháp giải:

Bước 1: tính đạo hàm $y^{\prime }$

Bước 2: xét dấu $y^{\prime }$ rồi lập bảng biến thiên

Bước 3: Từ bảng biến thiên nhận xét tính đơn điệu của hàm số

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định trên

Ta có: $y^{\prime }=\cos x-1$

Vì $\cos x\le 1$với $\forall x\in R$

Nên $y^{\prime }\le 0$với $\forall x\in R$và $y^{\prime }=0$tại $x=0$

Khi đó ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\pi ;\pi )$