Giải mục 1 trang 2, 3, 4

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 2 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một hòn đá được thả rơi tự do từ miệng của một giếng cạn. Biết rằng vận tốc của hòn đá tại thời điểm t giây tính từ lúc bắt đầu thả được tính bởi v(t)=10t (m/s).

a) Tìm hàm số s(t) mô tả quãng đường chuyển động (tính theo mét) của hòn đá sau t giây kể từ khi được thả.

b) Tính độ sâu của giếng, biết thời gian rơi tự do của hòn đá là 2,2 giây.

Phương pháp giải:

a)

- Sử dụng mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường trong chuyển động thẳng đều biến đổi, ta có:

$v\left(t\right)=\frac{ds\left(t\right)}{dt}$

- Tích phân v(t) theo t để tìm s(t).

b) Tính giá trị s(t) tại t = 2,2 giây, đây chính là độ sâu của giếng.

Lời giải chi tiết:

a)

Vận tốc của hòn đá được cho bởi:

$v\left(t\right)=10t(m/s)$

Quãng đường s(t) được tính bằng cách tính nguyên hàm vận tốc theo thời gian:

$s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int 10tdt$

Thực hiện nguyên hàm:

$s\left(t\right)=10\int tdt=10\left(\frac{t^2}{2}\right)+C=5t^2+C$

Vì tại thời điểm t = 0, hòn đá bắt đầu được thả từ miệng giếng, nên s(0) = 0. Do đó:

$s\left(0\right)=5(0{)}^2+C=0\Rightarrow C=0$

Vậy phương trình quãng đường là:

$s\left(t\right)=5t^{2}m$

b)

Để tính độ sâu của giếng, ta tính quãng đường s(t) tại t = 2,2 giây:

$s(2,2)=5(2,2{)}^2=5\times 4,84=24,2m$

Vậy độ sâu của giếng là 24,2 mét.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Giải thích vì sao $F\left(x\right)=x+\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=1-\sin x$ trên $R$.

b) Hàm số $G\left(x\right)=\sqrt{x}$ có là một nguyên hàm của hàm số $g\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ trên khoảng $(0;+\infty )$ không? Giải thích.

Phương pháp giải:

a) Để kiểm tra $F\left(x\right)$ có phải là nguyên hàm của $f\left(x\right)$ không, ta cần tính đạo hàm của $F\left(x\right)$ và so sánh với $f\left(x\right)$.

b) Để kiểm tra $G\left(x\right)$ có phải là nguyên hàm của $g\left(x\right)$ trên khoảng $(0;+\infty )$ không, ta cần tính đạo hàm của $G\left(x\right)$ và so sánh với $g\left(x\right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có hàm $F\left(x\right)=x+\cos x$. Tính đạo hàm của $F\left(x\right)$:

$F^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}(x+\cos x)=1-\sin x$

Nhận thấy $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$, do đó $F\left(x\right)=x+\cos x$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)=1-\sin x$ trên $R$.

b) Ta có hàm $G\left(x\right)=\sqrt{x}$. Tính đạo hàm của $G\left(x\right)$:

$G^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Nhận thấy $G^{\prime }\left(x\right)=g\left(x\right)$ trên khoảng $(0;+\infty )$, do đó $G\left(x\right)=\sqrt{x}$ là một nguyên hàm của $g\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Các hàm số $F_1\left(x\right)=\sin x$, $F_2\left(x\right)=\sin x+\sqrt{3}$, $F_3\left(x\right)=\sin x-2$ là những nguyên hàm của hàm số nào?

b) Vì sao hàm số $F\left(x\right)=\ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty )$? Tìm thêm hai nguyên hàm khác của hàm số $f\left(x\right)$ trên khoảng $(0;+\infty )$.

Phương pháp giải:

a)

- Xét đạo hàm của các hàm số $F_1\left(x\right)$, $F_2\left(x\right)$, và $F_3\left(x\right)$ để xác định hàm số chung mà các hàm này là nguyên hàm.

b)

- Xét đạo hàm của $F\left(x\right)=\ln x$ để chứng minh đây là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

- Sử dụng tính chất của nguyên hàm để tìm thêm hai nguyên hàm khác của $f\left(x\right)$ trên khoảng $(0;+\infty )$.

Lời giải chi tiết:

a)

Ta có các hàm số:

$F_1\left(x\right)=\sin x,F_2\left(x\right)=\sin x+\sqrt{3},F_3\left(x\right)=\sin x-2$

 Tính đạo hàm của các hàm số này:

$F_1^{\prime }\left(x\right)=\cos x,F_3^{\prime }\left(x\right)=\cos x,F_3^{\prime }\left(x\right)=\cos x$

 Như vậy, cả ba hàm số $F_1\left(x\right)$, $F_2\left(x\right)$, và $F_3\left(x\right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos x$.

b)

Xét hàm số $F\left(x\right)=\ln x$. Tính đạo hàm của $F\left(x\right)$:

$F^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\ln x\right)=\frac{1}{x}$

 Do đó, $F\left(x\right)=\ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.

Từ tính chất của nguyên hàm, ta có thể tìm thêm hai nguyên hàm khác của $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ bằng cách thêm hằng số vào nguyên hàm $F\left(x\right)$. Cụ thể:

$F_1\left(x\right)=\ln x+C_1,F_2\left(x\right)=\ln x+C_2$

 Với $C_1$ và $C_2$ là các hằng số tuỳ ý, ví dụ:

$F_1\left(x\right)=\ln x+1,F_2\left(x\right)=\ln x-2$

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho $\int f\left(x\right)dx=\sin x+\cos x+C.$ Tính $f\left(\pi \right)$.

Phương pháp giải:

- Khi biết một phương trình nguyên hàm như $\int f\left(x\right)dx=g\left(x\right)+C$, để tìm hàm số $f\left(x\right)$, cần lấy đạo hàm của $g\left(x\right)+C$ đối với $x$.

- Đạo hàm của $g\left(x\right)$ chính là hàm số $f\left(x\right)$, vì $\frac{d}{dx}\left(\int f\left(x\right)dx\right)=f\left(x\right)$.

- Sau khi xác định được hàm $f\left(x\right)$, thay giá trị $x$ cần tính vào hàm $f\left(x\right)$ để tìm kết quả cụ thể.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài, ta có:

$\int f\left(x\right)dx=\sin x+\cos x+C$

 Đạo hàm hai vế của phương trình này với $x$, ta được:

$f\left(x\right)=\frac{d}{dx}(\sin x+\cos x+C)$

 Tính đạo hàm của từng hạng tử:

$f\left(x\right)=\cos x-\sin x$

 (Vì $C$ là hằng số, nên $\frac{dC}{dx}=0$).

Thay $x=\pi$ vào hàm $f\left(x\right)$:

$f\left(\pi \right)=\cos \left(\pi \right)-\sin \left(\pi \right)$

 Biết rằng:

$\cos \left(\pi \right)=-1và\sin \left(\pi \right)=0$

 Do đó:

$f\left(\pi \right)=-1-0=-1$