Giải mục 1 trang 22, 23, 24, 25, 26

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 22 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong Hình 4.10, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x-3$, trục hoành và các đường thẳng $x=1$ và $x=6$.

a) Tính diện tích của (H).

b) Tính các tích phân ${\int }_1^6(x-3)dx$ và ${\int }_1^6|x-3|dx$. So sánh hai tích phân này với kết quả tính được ở câu a và rút ra nhận xét.

Phương pháp giải:

a)

Diện tích (H) có thể tính bằng cách cộng diện tích của hai tam giác. Diện tích của tam giác được tính bằng công thức:

$S=\frac{1}{2}\times h\times$đáy

b)

- Tính trực tiếp các tích phân ${\int }_1^6(x-3)dx$ và ${\int }_1^6\left|x-3\right|dx$.

- So sánh kết quả của hai tích phân này với diện tích tính được ở câu a để rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a)

Hình phẳng (H) trong đề bài là hai hình tam giác vuông, với các cạnh là:

- Đáy của tam giác thứ nhất: $6-3=3$

- Chiều cao của tam giác thứ nhất: $3-0=3$

- Đáy của tam giác thứ hai: $3-1=2$

- Chiều cao của tam giác thứ nhất: $0-(-2)=2$

Diện tích tam giác được tính theo công thức:

$S=\frac{1}{2}\times 3\times 3+\frac{1}{2}\times 2\times 2=\frac{9}{2}+2=6,5$

b)

Tính tích phân thứ nhất:

${\int }_1^6(x-3)dx={\left[\frac{{(x-3)}^2}{2}\right]}_1^6=\frac{9}{2}-2=\frac{7}{2}=2,5$

Tính tích phân thứ hai:

${\int }_1^6|x-3|dx={\int }_1^3(3-x)dx+{\int }_3^6(x-3)dx=2+\frac{9}{2}=6,5$

Nhận xét:

- Tích phân thứ nhất ${\int }_1^6(x-3)dx=3.5$ không phản ánh diện tích thực của hình phẳng, vì hàm số nhận giá trị âm trong khoảng từ 1 đến 3.

- Tích phân thứ hai ${\int }_1^6|x-3|dx=6.5$ chính là diện tích hình phẳng tính được ở câu a, vì nó tính giá trị tuyệt đối của hàm số, tức là cả phần âm và phần dương.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 23 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3$, trục hoành và các đường thẳng $x=-3,x=2$.

Phương pháp giải:

- Xác định ình phẳng cần tính diện tích.

- Phân tích dấu của hàm $y=x^3$.

- Tìm biểu thức diện tích tổng quát.

- Tính các tích phân dựa trên biểu thức diện tích tổng quát.

Lời giải chi tiết:

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3$, trục hoành $y=0$, và hai đường thẳng $x=-3$ và $x=2$. Tại các khoảng khác nhau, đồ thị có thể nằm bên trên hoặc bên dưới trục hoành, nên cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối $|x^3|$ để đảm bảo kết quả diện tích là dương.

- Từ $x=-3$ đến $x=0$, $y=x^3$ là âm.

- Từ $x=0$ đến $x=2$, $y=x^3$ là dương.       

Diện tích hình phẳng được tính bằng cách lấy tích phân của $|x^3|$ từ $x=-3$ đến $x=2$

$S={\int }_{-3}^0-x^{3}dx+{\int }_0^2{x}^{3}dx$

Trong khoảng $x\in [-3,0]$, đổi dấu hàm số $x^3$ để đảm bảo diện tích là dương.

Tích phân của $-x^3$ trong khoảng $[-3,0]$:

${\int }_{-3}^0-x^{3}dx=-{\left[\frac{x^4}{4}\right]}_{-3}^0=-\left(\frac{0^4}{4}-\frac{{(-3)}^4}{4}\right)=-\left(0-\frac{81}{4}\right)=\frac{81}{4}$

Tích phân của $x^3$ trong khoảng $\left[0,2\right]$:

${\int }_0^2{x}^{3}dx={\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=\frac{2^4}{4}-\frac{0^4}{4}=\frac{16}{4}=4$

Diện tích tổng cộng là tổng của hai kết quả tích phân:

$S=\frac{81}{4}+4=\frac{81}{4}+\frac{16}{4}=\frac{97}{4}$

Vậy, diện tích của hình phẳng là:

$S=\frac{97}{4}=24.25$.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một cái cổng có kích thước như Hình 4.14a. Vòm cổng có hình dạng một parabol có đỉnh $I(0;2)$ và đi qua điểm $B\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$ như Hình 4.14b. Tính diện tích hai cánh cửa cổng.

Phương pháp giải:

- Xác định phương trình parabol.

- Tính diện tích một cánh cửa cổng bằng cách tính tích phân diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ $x=0$ đến $x=\frac{5}{2}$.

- Nhân diện tích một cánh cửa với 2 để ra diện tích hai cánh cửa cổng.

Lời giải chi tiết:

Xác định phương trình parabol đỉnh $I(0;2)$ có dạng:

$y=a{x}^2+2$

Sử dụng điểm $B\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$ để tìm hệ số $a$:

$\frac{3}{2}=a{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+2$

Giải ra ta được:

$a=-\frac{2}{25}$

Vậy phương trình của parabol là:

$y=-\frac{2}{25}{x}^2+2$

Diện tích một cánh cửa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ $x=0$ đến $x=\frac{5}{2}$, được tính bằng tích phân:

$S=2{\int }_0^{\frac{5}{2}}\left(-\frac{2}{25}{x}^2+2\right)dx$

Tính tích phân:

$S=2{\left[\left(-\frac{2}{25}\cdot \frac{x^3}{3}+2x\right)\right]}_0^{\frac{5}{2}}$

$S=2\left[-\frac{2}{25}\cdot \frac{125}{24}+2\cdot \frac{5}{2}\right]$

$S=2\left(-\frac{5}{12}+5\right)=2\left(\frac{55}{12}\right)=\frac{55}{6}$

Vậy, diện tích hai cánh cửa cổng là: $9,167m^2$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hai hàm số $f\left(x\right)=6-x$, $g\left(x\right)=\frac{1}{6}{x}^2+1$.

a) Tính $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng $x=1,x=3$ và đồ thị hàm số $y=f\left(x\right).$

b) Tính $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng $x=1,x=3$ và đồ thị hàm số $y=g\left(x\right).$

c) Qua $S_1,S_2$ tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

$y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ và các đường thẳng $x=1,x=3$. (phần hình phẳng được gạch chéo trong Hình 4.15).

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích $S_1$ bằng cách lấy tích phân của hàm số $f\left(x\right)=6-x$ từ $x=1$ đến $x=3$

b) Tính diện tích $S_2$ bằng cách lấy tích phân của hàm số $g\left(x\right)=\frac{1}{6}{x}^2+1$ từ $x=1$ đến $x=3$.

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị bằng cách lấy hiệu diện tích $S_1-S_2$.

Lời giải chi tiết:

a) Tính $S_1$

Diện tích $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng $x=1$, $x=3$ và đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$:

$S_1={\int }_1^3(6-x)dx$

Tính tích phân:

$S_1={\left[6x-\frac{x^2}{2}\right]}_1^3$

$S_1=\left(6\cdot 3-\frac{3^2}{2}\right)-\left(6\cdot 1-\frac{1^2}{2}\right)$

$S_1=(18-4.5)-(6-0.5)=13.5-5.5=8$

b) Tính $S_2$

Diện tích $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng $x=1$, $x=3$ và đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)$:

$S_2={\int }_1^3\left(\frac{1}{6}{x}^2+1\right)dx$

Tính tích phân:

$S_2={\left[\frac{1}{6}\cdot \frac{x^3}{3}+x\right]}_1^3$

$S_2=\left(\frac{1}{6}\cdot \frac{27}{3}+3\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{3}+1\right)$

$S_2=\left(\frac{9}{6}+3\right)-\left(\frac{1}{18}+1\right)$

$S_2=(1.5+3)-\left(\frac{1}{18}+1\right)=4.5-\frac{19}{18}=\frac{81}{18}-\frac{19}{18}=\frac{62}{18}\approx 3,44$

c) Tính diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $f\left(x\right)$ và $g\left(x\right)$ trong khoảng $x=1$ đến $x=3$ là:

$S=S_1-S_2=8-3,44=4,56$

Vậy, diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị là $S=4,56$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính diện tích hình phẳng được tô màu trong Hình 4.18.

Phương pháp giải:

- Xác định giao điểm của hai đường $y=x^3$ và $y=x$ bằng cách giải phương trình: $x^3=x$

- Diện tích hình phẳng giữa hai đường cong $y=x^3$ và $y=x$ trong khoảng từ $x=-1$ đến $x=1$ được tính bằng:

$S={\int }_{-1}^1|x-x^3|dx$

Lời giải chi tiết:

Giao điểm của hai đường $y=x^3$ và $y=x$ là:

$x^3=x\iff x(x^2-1)=0$

Suy ra: $x=0$, $x=1$, và $x=-1$.

Vì trên khoảng từ $-1$ đến 0, $y=x^3$ nằm trên $y=x$, và trên khoảng từ 0 đến 1, $y=x$ nằm trên $y=x^3$, ta có:

$S={\int }_{-1}^0(x^3-x)dx+{\int }_0^1(x-x^3)dx$

Tính tích phân:

${\int }_{-1}^0(x^3-x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]}_{-1}^0=\left(0-0\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

${\int }_0^1(x-x^3)dx={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^1=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)-(0-0)=\frac{1}{4}$

Vậy diện tích hình phẳng là:

$S=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.