Giải mục 1 trang 23, 24, 25

Câu hỏi khởi động

Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng $\frac{1}{2}.$

Chia hình vuông nhỏ ở góc trên bên phải thành bốn hình vuông bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ hai (màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng $\frac{1}{4}.$

Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông nhỏ (màu đỏ) ở hình 1.

Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n (màu đỏ) bằng bao nhiêu? Vì sao?

Lời giải chi tiết:

Nhận xét:

Chia hình vuông cạnh a thành 4 hình vuông, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (như cách lấy ở trên) thì cạnh của hình vuông đó bằng $\frac{a}{2}$.

=> Sau mỗi lần lấy, độ lớn của cạnh hình vuông giảm đi 2 lần

=> Sau n lần, cạnh hình vuông nhỏ thứ n giảm đi $2^n$ so với hình ban đầu.

=> Cạnh của hình vuông nhỏ thứ n là $\frac{1}{2^n}$

Hoạt động

Xét mệnh đề chứa biến P(n): “$1+3+5+...+(2n-1)=n^2$” với n là số nguyên dương.

a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.

b) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết $1+3+5+...+(2k-1)$ bằng bao nhiêu.

c) Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra $k^2+\left[2\right(k+1)-1]=(k+1{)}^2$.

Lời giải chi tiết:

a) Mệnh đề P(1) là: “$1=1^2$”, rõ ràng mệnh đề này đúng.

b) Mệnh đề P(k) là: “$1+3+5+...+(2k-1)=k^2$”

Mệnh đề P(k) đúng thì $1+3+5+...+(2k-1)$ bằng $k^2$

c) Mệnh đề P(k+1) là: “$1+3+5+...+\left[2\right(k+1)-1]=(k+1{)}^2$”

Mệnh đề P(k) đúng nên ta có $1+3+5+...+(2k-1)=k^2$

$\begin{array}{c}\Rightarrow 1+3+5+...+\left[2\right(k+1)-1]=1+3+5+...+(2k-1)+\left[2\right(k+1)-1]\\ =k^2+\left[2\right(k+1)-1]=k^2+2k+1=(k+1{)}^2\end{array}$

Vậy mệnh đề P(k+1) cũng đúng.

Luyện tập – vận dụng 1

Chứng minh:

a) $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-1$ với mọi $n\in N\ast$

b) $\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}.\frac{4^3-1}{4^3+1}...\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{2(n^2+n+1)}{3n(n+1)}$ với mọi $n\in N\ast ,n\ge 2$

Phương pháp giải:

Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với $n\ge p$ thì:

Bước 1: Chứng tỏ mệnh đề đúng với $n=p$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà P(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Khi $n=1$ ta có $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$, đúng

vì $\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)=2-1=1\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}=\sqrt{2}-\sqrt{1}=\sqrt{2}-1$

Như vậy đẳng thức đúng với $n=1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}}=\sqrt{k+2}-1$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-1$

Suy ra

$\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}}\\ =\sqrt{k+1}-1+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}}\\ =\frac{{\left(\sqrt{k+1}\right)}^2+\sqrt{k+1}.\sqrt{k+2}+1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}}-1\\ =\frac{k+2+\sqrt{k+1}.\sqrt{k+2}}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}}-1\\ =\frac{\sqrt{k+2}\left(\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}\right)}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}}-1\\ =\sqrt{k+2}-1\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n\in N\ast$. Tức là:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-1$ với mọi $n\in N\ast$

b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Khi $n=2$ ta có $\frac{2^3-1}{2^3+1}=\frac{2(2^2+2+1)}{3.2(2+1)}$, đúng

vì $\frac{2^3-1}{2^3+1}=\frac{7}{9};\frac{2(2^2+2+1)}{3.2(2+1)}=\frac{2.7}{\mathrm{3.2.3}}=\frac{7}{9}$

Như vậy đẳng thức đúng với $n=2$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương lớn hơn 2 tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

$\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}.\frac{4^3-1}{4^3+1}...\frac{{(k+1)}^3-1}{{(k+1)}^3+1}=\frac{2({(k+1)}^2+(k+1)+1)}{3(k+1)(k+2)}$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}.\frac{4^3-1}{4^3+1}...\frac{{(k+1)}^3-1}{{(k+1)}^3+1}=\frac{2({(k+1)}^2+(k+1)+1)}{3(k+1)(k+2)}$

Suy ra

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi . Tức là:

với mọi