Giải mục 1 trang 24, 25

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 24 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=-x^3+3x^2-4.$

a) Tập xác định của hàm số $f\left(x\right)$ là gì?

b) Hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến, nghịch biến trên các khoảng nào?

c) Hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại và cực tiểu tại những điểm nào?

d) Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có tiệm cận hay không?

Phương pháp giải:

a) Tập xác định: Đối với một hàm đa thức, tập xác định là toàn bộ các số thực $R$.

b) Xét tính đơn điệu:

- Tính $f^{\prime }\left(x\right)$.

- Tìm các điểm mà tại đó $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0.

- Lập bảng biến thiên.

c) Tìm cực trị: Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị

d) Tiệm cận: Đối với hàm đa thức, không tồn tại tiệm cận ngang, đứng hay xiên.

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số $f\left(x\right)=-x^3+3x^2-4$ là một đa thức bậc ba, nên D=R.

b) Xét tính đơn điệu

Tính $f^{\prime }\left(x\right):f^{\prime }\left(x\right)=-3x^2+6x$

Tìm nghiệm khi $f^{\prime }\left(x\right)=0$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\leftrightarrow -3x^2+6x=0$

$\leftrightarrow -3x(x-2)=0$

$\leftrightarrow x=0$hoặc $x=2$

Tính giới hạn

$\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(-x^3+3x^2-4\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\left[-x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^3}\right)\right]=-\infty \end{array}$

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(-x^3+3x^2-4\right)=\underset{x\to -\infty }{lim}\left[-x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{4}{x^3}\right)\right]=+\infty$

Bảng biến thiên:

Kết luận:

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$.

- Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$.

c) Tìm cực trị

Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể kết luận:

- Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$

- Hàm số đạt cực đại tại $x=2$

d) Hàm số $f\left(x\right)$ là một đa thức bậc ba, vì vậy nó không có tiệm cận ngang, đứng hay xiên. Đồ thị của hàm số không có tiệm cận.