Giải mục 1 trang 25, 26, 27

Khám phá 1

a) Tìm phép biến hình biến $Δ$ BAC thành $Δ$ BA’C’ (Hình 1).

b) Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định (Hình 2).

Gọi f là quy tắc ứng với mỗi điểm M trùng O cho ta điểm O và ứng với điểm M khác O cho ta một điểm M’ xác định như sau:

– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng 60°.

Quy tắc f có phải là một phép biến hình không?

Hãy vẽ điểm M’ theo quy tắc trên nếu thay góc 60° bởi góc –30°.

Phương pháp giải:

Phép biến hình f trong mặt phẳng là một quy tắc cho tương ứng với mỗi điểm M với duy nhất một điểm M’. Điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f, kí hiệu $M^{'} = f (M)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Để tìm phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’, ta tìm phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’, biến điểm C thành điểm C’.

Với $A (- 7; 4), B (- 2; 3), C (- 5; 0), A^{'} (- 3; - 2), C^{'} (1; 0),$ ta có:

$\vec{B A} = (- 5; 1), \vec{B A^{'}} = (- 1; - 5), \vec{A A^{'}} = (4; - 6)$

Suy ra $B A = B A^{'} = \sqrt{26}; A A^{'} = 2 \sqrt{13}$

Khi đó $\cos \hat{A B A^{'}} = \frac{B A^{2} + B A^{' 2} - A A^{' 2}}{2. B A . B A^{'}} = \frac{26 + 26 - {(2 \sqrt{13})}^{2}}{2. \sqrt{26} . \sqrt{26}} = 0$

Vì vậy $(B A, B A^{'}) = \hat{A B A^{'}} = 90^{\circ}$

Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BA thành đoạn thẳng BA’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm A thành điểm A’ sao cho BA’ = BA và góc lượng giác $(B A, B A^{'}) = 90^{\circ} (1)$

Thực hiện tương tự, ta được $B C = B C^{'} = 3 \sqrt{2}; (B C, B C^{'}) = 90^{\circ}$

Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BC thành đoạn thẳng BC’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm C thành điểm C’ sao cho BC’ = BC và góc lượng giác $(B C, B C^{'}) = 90^{\circ} (2)$

Từ (1), (2), ta thu được phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’ là phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’ sao cho và góc lượng giác $(B A, B A^{'}) = 90^{\circ}$ và biến điểm C thành điểm C’ sao cho $B C^{'} = B C$ và góc lượng giác $(B C, B C^{'}) = 90^{\circ} .$

b) Đặt $f (M) = M^{'} .$ Trong đó, M’ là điểm nằm trên (C) sao cho góc lượng giác $(O M, O M^{'})$ bằng 60°.

Ta thấy f là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M đều xác định duy nhất một điểm M’.

Vậy f là một phép biến hình.

Cách vẽ điểm M’ theo quy tắc trên với góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°:

– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°.

Ta có hình vẽ sau:

Thực hành 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ của các điểm là ảnh của điểm $M (\sqrt{2}; \sqrt{2})$ lần lượt qua các phép quay $Q_{(O, 45^{\circ})}, Q_{(O, 90^{\circ})}, Q_{(O, 180^{\circ})}, Q_{(O, 360^{\circ})} .$

Phương pháp giải:

Phép quay tâm O, góc quay :

Khi đó, ${\begin{cases} x^{'} = x \cos α - y \sin α \\ y^{'} = x \sin α + y \cos α \end{cases}$

Lời giải chi tiết:

Ta có $\vec{O M} = (\sqrt{2}; \sqrt{2})$ . Suy ra OM = 2.

Vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

⦁ Ảnh của điểm $M (\sqrt{2}; \sqrt{2})$ qua phép quay $Q_{(O, 45^{\circ})}$

Ta có $Q_{(O, 45^{\circ})}$ biến điểm M khác O thành điểm M₁ sao cho $O M_{1} = O M = 2$ và $(O M, O M_{1}) = 45^{\circ}$ nên $\hat{M O M_{1}} = 45^{\circ}$

Kẻ $M H ⊥ O x$ tại H.

Tam giác OMH vuông tại H: $\cos \hat{M O H} = \frac{O H}{O M} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra $\hat{M O H} = 45^{\circ}$

Ta có $\hat{H O M_{1}} = \hat{H O M} + \hat{M O M_{1}} = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$

Suy ra $M_{1} \in O y$ nên $x_{M_{1}} = 0$

Mà $O M_{1} = 2$ (chứng minh trên) nên tọa độ $M_{1} (0; 2) .$

⦁ Ảnh của điểm $M (\sqrt{2}; \sqrt{2})$ qua phép quay $Q_{(O, 90^{\circ})}$

Ta có $Q_{(O, 90^{\circ})}$ biến điểm M khác O thành điểm M₂ sao cho $O M_{2} = O M = 2$ và $(O M, O M_{2}) = 90^{\circ}$ nên $\hat{M O M_{2}} = 90^{\circ}$ .

Suy ra tam giác $M O M_{2}$ vuông cân tại O.

Ta có $\hat{M_{1} O M_{2}} = \hat{M O M_{2}} - \hat{M O M_{1}} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$

Suy ra $\hat{M O M_{1}} = \hat{M_{1} O M_{2}} = 45^{\circ}$

Khi đó tam giác MOM₂ có OM₁ là đường phân giác.

Vì vậy OM₁ cũng là đường trung trực của tam giác MOM₂ hay Oy là đường trung trực của tam giác MOM₂.

Suy ra M₂ là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục Oy.

Do đó hai điểm $M (\sqrt{2}; \sqrt{2})$ và M₂ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vậy tọa độ $M_{2} (- \sqrt{2}; \sqrt{2})$

⦁ Ảnh của điểm $M (\sqrt{2}; \sqrt{2})$ qua phép quay $Q_{(O, 180^{\circ})}$

Ta có $Q_{(O, 180^{\circ})}$ biến điểm M khác O thành điểm M₃ sao cho $O M_{3} = O M = 2$ và $(O M, O M_{3}) = 180^{\circ}$ nên $\hat{M O M_{3}} = 180^{\circ}$

Suy ra O là trung điểm của MM₃.

Khi đó ${\begin{cases} x_{O} = \frac{x_{M} + x_{M_{3}}}{2} \\ y_{O} = \frac{y_{M} + y_{M_{3}}}{2} \end{cases}$

Vì vậy ${\begin{cases} x_{M_{3}} = 2 x_{O} - x_{M} = 2.0 - \sqrt{2} = - \sqrt{2} \\ y_{M_{3}} = 2 y_{O} - y_{M} = 2.0 - \sqrt{2} = - \sqrt{2} \end{cases}$

Vậy tọa độ $M_{3} (- \sqrt{2}; - \sqrt{2})$

⦁ Ảnh của điểm $M (\sqrt{2}; \sqrt{2})$ qua phép quay $Q_{(O, 360^{\circ})}$

Ta có $Q_{(O, 360^{\circ})}$ biến điểm M khác O thành điểm M₄ sao cho $O M_{4} = O M = 2$ và $(O M, O M_{4}) = 360^{\circ}$ nên $\hat{M O M_{4}} = 360^{\circ}$

Tức là, $M_{4} \equiv M .$

Vậy tọa độ $M_{4} (\sqrt{2}; \sqrt{2})$ .

Vận dụng 1

Một con tàu đang di chuyển theo hướng bắc. Người lái tàu phải thực hiện phép quay nào trên bánh lái để con tàu:

a) rẽ sang hướng tây?

b) rẽ sang hướng đông?

Phương pháp giải:

Quan sát hình 5 và dựa vào đề bài để tìm góc quay φ

Lời giải chi tiết:

a) Để con tàu rẽ sang hướng tây, người lái tàu phải thực hiện phép quay với tâm là tâm của bánh lái và góc quay φ = 90°.

b) Để con tàu rẽ sang hướng đông, người lái tàu phải thực hiện phép quay với tâm là tâm của bánh lái và góc quay φ = –90°.