Giải mục 1 trang 26, 27, 28, 29, 30

Hoạt động 1

Trong mặt phẳng cho điểm O. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=2\overrightarrow{OM}$ (Hình 47).

Phương pháp giải:

Quan sát hình 47, xác định M’ sao cho độ dài OM' = 2OM, và $\overrightarrow{OM};\overrightarrow{O{M}^{\prime }}$ cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

Cách xác định:

- Lấy điểm O và điểm M bất kì;

- Trên tia OM, lấy điểm M' sao cho OM' = 2OM.

Khi đó ta có $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=2\overrightarrow{OM}$ (tham khảo Hình 47).

Luyện tập 1

Cho tam giác ABC có O là trung điểm của cạnh BC. Xác định ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số $k=\frac{1}{2}$.

Phương pháp giải:

Tìm ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O, tỉ số $k=\frac{1}{2}$ là A’B’C’. Khi đó ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự chính là tam giác A’B’C’.

Lời giải chi tiết:

Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=\frac{1}{2}$. Khi đó ta có:

$\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA};\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB};\overrightarrow{O{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$. Do đó, các điểm A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.

Vậy ảnh của tam giác ABC trong phép vị tự tâm O tỉ số $k=\frac{1}{2}$ là tam giác A'B'C' với A', B', C' lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.

Hoạt động 2

Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và hai điểm A, B. Giả sử $A^{\prime }=V_{\left(O,k\right)}\left(A\right),B^{\prime }=V_{\left(O,k\right)}\left(B\right).$

a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{O{A}^{\prime }},\overrightarrow{O{B}^{\prime }}$ lần lượt theo các vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$.

b) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ theo vectơ $\overrightarrow{AB}$. Từ đó, tìm mối liên hệ độ dài giữa hai đoạn thẳng A'B' và AB.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc hiệu và tính chất $A^{\prime }=V_{\left(O,k\right)}\left(A\right)\Rightarrow \overrightarrow{O{A}^{\prime }}=k\overrightarrow{OA}$.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $A^{\prime }=V_{\left(O,k\right)}\left(A\right),B^{\prime }=V_{\left(O,k\right)}\left(B\right)$ nên $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=k\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=k\overrightarrow{OB}$

b) Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{O{B}^{\prime }}-\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=k\overrightarrow{OB}-k\overrightarrow{OA}=k\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=k\overrightarrow{AB}$ (theo quy tắc hiệu).

Vậy $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=k\overrightarrow{AB}$, từ đó suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }=\left|k\right|AB.$

Hoạt động 3

Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Giả sử $A^{\prime }=V_{\left(O,k\right)}\left(A\right),B^{\prime }=V_{\left(O,k\right)}\left(B\right),C^{\prime }=V_{\left(O,k\right)}\left(C\right).$

a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ lần lượt theo các vectơ $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ có ngược hướng không?

c) Hai vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ có ngược hướng không? Từ đó, nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.

Phương pháp giải:

Làm tương tự Hoạt động 2, sử dụng quy tắc hiệu và tính chất $A^{\prime }=V_{\left(O,k\right)}\left(A\right)\Rightarrow \overrightarrow{O{A}^{\prime }}=k\overrightarrow{OA}$.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $A^{\prime }=V_{\left(O,k\right)}\left(A\right),B^{\prime }=V_{\left(O,k\right)}\left(B\right),C^{\prime }=V_{\left(O,k\right)}\left(C\right).$ nên $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=k\overrightarrow{BA}$  và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=k\overrightarrow{BC}$.

b) Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ngược hướng với nhau.

c) +) Với k > 0, ta có:

 $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=k\overrightarrow{BA}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }},\overrightarrow{BA}$ cùng hướng với nhau.

 $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=k\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng với nhau.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng với nhau nên hai vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$  và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ ngược hướng với nhau.

+) Với k < 0, ta có:

$\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=k\overrightarrow{BA}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ và  $\overrightarrow{BA}$  ngược hướng với nhau.

 $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=k\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng với nhau.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng với nhau nên hai vectơ  và  ngược hướng với nhau.

Từ đó suy ra với k ≠ 0 thì hai vectơ null  và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ ngược hướng với nhau.

Do đó, ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa hai điểm A' và C'.

Luyện tập 2

Cho đường tròn (C) có tâm O bán kính R. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=-\frac{1}{2}$.

Phương pháp giải:

Tìm ảnh của tâm O qua phép vị tự và $R^{\prime }=\left|k\right|R$

Lời giải chi tiết:

Qua phép vị tự tâm O tỉ số $k=-\frac{1}{2}$ thì điểm O biến thành chính nó. Do đó, ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O và bán kính $R^{\prime }=\left|-\frac{1}{2}\right|R=\frac{1}{2}R$.