Giải mục 1 trang 26, 27, 28, 29
HĐ Khám phá
Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây:
Một học sinh phát hiện ra công thức sau:
.
a) Hãy chỉ ra công thức (1) đúng với n = 1, 2, 3, 4, 5.
b) Từ việc tô màu trên lưới ô vuông như Hình 1, bạn học sinh khẳng định rằng công thức (1) chắc chắn đúng với mọi số tự nhiên . Khẳng định như vậy đã thuyết phục chưa? Tại sao?
Lời giải chi tiết:
a) Kiểm tra bằng tính toán trực tiếp. Ta có:
nên (1) đúng với .
nên (1) đúng với .
nên (1) đúng với .
nên (1) đúng với .
nên (1) đúng với .
b) Khẳng định của bạn HS chỉ là phỏng đoán. Việc tô màu hay tính toán trực tiếp không thể kiểm chứng hết tất cả các giá trị của n (mà chỉ kiểm chứng được một số hữu hạn giá trị n nào đó). Do đó khẳng định của bạn HS là chưa thuyết phục.
Thực hành 1
Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi .
.
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với .
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên và chứng minh mệnh đề đúng với . Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với ta có .
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp .
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với , nghĩa là có:
(*).
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với , nghĩa là cần chứng minh:
.
Thật vậy ta có:
(theo (*))
.
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên .
Thực hành 2
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên :
.
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với .
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên và chứng minh mệnh đề đúng với . Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với ta có .
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp .
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với , nghĩa là có:
.
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với , nghĩa là cần chứng minh
.
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý , ta có:
Vậy bất đẳng thức đúng với .
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên .